[行列解析0.2.3]行列または線形変換に関連づけられるベクトル空間

0.2.3 行列または線形変換に関連づけられるベクトル空間

任意の \( n \) 次元ベクトル空間は \( \mathbb{F}^n \) と同型であるため、行列 \( A \in M_{m,n}(\mathbb{F}) \) は線形変換：

x \mapsto Ax

と見なすことができ、その定義域は \( \mathbb{F}^n \)、値域（像）は：

\operatorname{range} A = \{ y \in \mathbb{F}^m : y = Ax \text{ for some } x \in \mathbb{F}^n \}

となります。零空間（null space）は：

\operatorname{nullspace} A = \{ x \in \mathbb{F}^n : Ax = 0 \}

であり、いずれも線形部分空間です。nullspace の次元は nullity A、range の次元は rank A と呼ばれ、以下のrank-nullity 定理が成り立ちます：

\dim(\operatorname{range} A) + \dim(\operatorname{nullspace} A) = \operatorname{rank} A + \operatorname{nullity} A = n

零空間は、\( m \) 個の一次斉次方程式を満たす \( \mathbb{F}^n \) のベクトルの集合です。