代数学の基本定理（The Fundamental Theorem of Algebra）
複素数 \( \mathbb{C} \) が導入された歴史的な動機の一つは、実係数多項式が必ずしも実数の零点（根）をもたないことにあった。
たとえば、次の計算から多項式 \( p(t) = t^2 - 2t + 2 \) の零点が \( \{1 + i,\, 1 - i\} \) であることがわかるが、この多項式には実数解が存在しない。
しかし、実係数多項式のすべての零点は複素数全体の集合 \( \mathbb{C} \) に含まれる。
実際、複素係数多項式の零点もすべて \( \mathbb{C} \) に存在する。
したがって、\( \mathbb{C} \) は代数的に閉じた体（algebraically closed field）である。
すなわち、\( \mathbb{C} \) を部分体として含む体 \( F \) のうち、\( \mathbb{C} \) 上の係数をもつ多項式で \( F \) に零点をもつが \( \mathbb{C} \) には零点をもたないものは存在しない。
代数学の基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）は次のように述べられる。
「複素係数をもつ次数 1 以上の任意の多項式 \( p \) は、少なくとも 1 つの複素数の零点をもつ」。
合成除法を用いると、もし \( p(z) = 0 \) であるなら、\( t - z \) は \( p(t) \) を割り切る。すなわち、
p(t) = (t - z) q(t)
ここで \( q(t) \) は複素係数多項式であり、その次数は \( p \) の次数より 1 小さい。
したがって、\( p \) の零点は \( z \) と \( q \) の零点からなる。
このことから、次の定理が導かれる。
定理：
複素係数をもつ次数 \( n \ge 1 \) の多項式は、重複度を考慮すれば、ちょうど \( n \) 個の複素数の零点をもつ。
多項式 \( p \) の零点 \( z \) の重複度（multiplicity）とは、\((t - z)^k\) が \( p(t) \) を割り切る最大の整数 \( k \) のことである。
零点 \( z \) が重複度 \( k \) をもつとき、その零点は \( p \) の零点数 \( n \) に対して \( k \) 回数えられる。したがって、複素係数多項式は常に複素数上で一次式の積に因数分解できる。
実係数多項式 \( p \) が非実数の複素零点をもつ場合、それらは必ず共役な組（conjugate pairs）として現れる。なぜなら、もし \( p(z) = 0 \) ならば、共役をとって \( 0 = \overline{0} = p(\overline{z}) \) も成り立つからである。
また、次の関係式
(x - z)(x - \overline{z}) = x^2 - 2\,\mathrm{Re}(z)\,x + |z|^2
より、任意の実係数多項式は、実数上で一次因子および二次因子の積に因数分解できることがわかる。
各既約な二次因子は、共役な複素根の対に対応している。
【参考文献】
代数学の基本定理の初等的証明については Childs (1979) を参照。
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