9.複素数の基本的な定義と性質
複素数とは、実数 \( a, b \) と記号 \( i \) を用いて \( z = a + ib \) の形に表される数のことである。
ここで \( i \) は形式的な記号であり、\( i^2 = -1 \) という関係を満たす。
実数 \( a \) は \( z \) の実部（real part）であり、\(\operatorname{Re} z\) と書く。
実数 \( b \) は \( z \) の虚部（imaginary part）であり、\(\operatorname{Im} z\) と書く。
複素数 \( z = a + ib \) の共役複素数（complex conjugate）は、\(\bar{z} = a - ib\) と定義される。
複素数 \( z_1 = a_1 + ib_1 \) および \( z_2 = a_2 + ib_2 \) の加法および乗法は次のように定義される。
z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2) \\ z_1 z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + i(a_1 b_2 + a_2 b_1)
すなわち、加法は実部同士と虚部同士をそれぞれ加える操作であり、乗法は分配法則に従って展開し、\( i^2 = -1 \) の関係を用いて整理する操作である。
\( z = a + ib \) の加法に関する逆元は \(-z = -a + i(-b)\) である。
さらに、\( z \neq 0 = 0 + i0 \) のとき、乗法に関する逆元（逆数）は次のように表される。
\frac{1}{z} = \frac{a - ib}{a^2 + b^2} = \frac{a}{a^2 + b^2} + i\!\left(-\frac{b}{a^2 + b^2}\right)
したがって、複素数の減算および除算はそれぞれ次のように定義される。
z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2), \quad
\frac{z_1}{z_2} = z_1 \left(\frac{1}{z_2}\right)
= \frac{z_1 \bar{z}_2}{z_2 \bar{z}_2}
複素数全体の集合を \(\mathbb{C}\) と書く。
加法および乗法の演算は可換であり、\(\mathbb{C}\) はそれらの演算に関して体（field）をなす。
このとき、加法単位元は \(0 = 0 + i0\)、乗法単位元は \(1 = 1 + i0\) である。
実数全体の集合 \(\mathbb{R}\) は \(\mathbb{C}\) の部分体である。
複素数 \( z \) の絶対値（またはモジュラス）は、次の非負の実数として定義される。
|z| = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{(\operatorname{Re} z)^2 + (\operatorname{Im} z)^2}
\(|z| = 0\) となるのは、\(z = 0\) のとき、かつそのときに限る。
また、\(z_2 \neq 0\) のとき、商は次のように表される。
\frac{z_1}{z_2} = \frac{1}{|z_2|^2} z_1 \bar{z}_2
複素共役と乗法の演算は可換であり、次の性質が成り立つ。
\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2 \\
\overline{\bar{z}} = z \\
\operatorname{Re}(z_1 + z_2) = \operatorname{Re} z_1 + \operatorname{Re} z_2 \\
\operatorname{Im}(z_1 + z_2) = \operatorname{Im} z_1 + \operatorname{Im} z_2
さらに、次の関係式が成り立つ。
\operatorname{Re} z = \frac{1}{2}(z + \bar{z}) \\
\quad \\
\operatorname{Im} z = \frac{1}{2i}(z - \bar{z})
実数とは、\(\operatorname{Im} z = 0\) または \(z = \bar{z}\) を満たす複素数のことである。
任意の \(z \in \mathbb{C}\) に対して、\(\operatorname{Re} z \le |z|\) が成り立ち、等号が成り立つのは \(z\) が非負の実数の場合に限られる。
このとき \(z = |z|\) である。
幾何学的には、複素数全体 \(\mathbb{C}\) は原点を持つデカルト平面（座標平面）とみなすことができる。
実軸（x軸）と虚軸（y軸）を用いれば、複素数 \( z = a + ib \) は点 \((a, b)\) と対応し、この座標を直交座標（rectangular coordinates）と呼ぶ。
実軸は \(\{z : \operatorname{Im} z = 0\}\)、虚軸は \(\{z : \operatorname{Re} z = 0\}\) で表される。
共役操作は実軸に対する反射を意味し、\(|z|\) は原点から \(z\) までのユークリッド距離である。
複素平面の右半平面および上半平面はそれぞれ次のように表される。
\{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re} z \gt 0 \} \\
\{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Im} z \gt 0 \}
単位円板は \(\{ z \in \mathbb{C} : |z| \le 1 \}\) であり、中心 \( a \in \mathbb{C} \)、半径 \( r \) の円板は \(\{ z \in \mathbb{C} : |z - a| \le r \}\) で表される。
また、複素平面は極座標 \((r, \theta)\) によっても表される。
\(z \in \mathbb{C}\) の位置は、原点からの距離 \(r = |z|\) と、実軸から反時計回りに測った角度 \(\theta\) によって決まる。
このとき、次のように書ける。
z = re^{i\theta}, \quad e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta
ここで \(|e^{i\theta}| = 1\)、\((e^{i\theta})^{-1} = e^{-i\theta}\)、および \(|e^{i\theta} z| = |z|\) が成り立つ。
なお、\(e^{i(\theta + 2n\pi)} = e^{i\theta}\) であるため、\(\arg z\) は \(2\pi\) の剰余類としてのみ定まる。
直交座標との関係は次の通りである。
a = r \cos \theta, \quad b = r \sin \theta \\
r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}
また、\(r \neq 0\) のとき、\(\theta = \arg z\) の主値は \(0 \le \theta \lt 2\pi\) の範囲でとる。
三角不等式は次のように表される。
|z_1 + z_2 + \cdots + z_m| \le |z_1| + |z_2| + \cdots + |z_m|
等号が成り立つのは、すべての \(z_k\) が同じ偏角をもつ、すなわち同一直線上にある場合に限られる。
行列解析の総本山
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