主要な記号一覧
\( \mathbb{R} \)：実数全体の集合（the real numbers）
\( \mathbb{R}^n \)：実数 \( n \) 次元ベクトルの空間、すなわち \( M_{n,1}(\mathbb{R}) \)
\( \mathbb{C} \)：複素数全体の集合（the complex numbers）
\( \mathbb{C}^n \)：複素数 \( n \) 次元ベクトルの空間、すなわち \( M_{n,1} (\mathbb{C})\)
\( F \)：体（a field）
\( F^n \)：成分が \( F \) に属する \( n \) 次元ベクトル空間
\( M_{m,n}(F) \)：成分が \( F \) に属する \( m \times n \) 行列
\( M_{m,n} \)：複素数成分をもつ \( m \times n \) 行列。すなわち \( M_{m,n}(\mathbb{C}) \)
\( M_n \)：複素数成分をもつ \( n \times n \) 行列。すなわち \( M_{n,n}(\mathbb{C}) \)
\( A, B, C, \dots \)：行列。例：\( A = [a_{ij}] \)
\( x, y, z, \dots \)：列ベクトル。例：\( x = [x_i] \)
\( I_n \)：\( M_n \) における単位行列。文脈でサイズが明らかな場合は \( I \)
\( 0_{m,n} \)：\( M_{m,n} \) における零行列。文脈でサイズが明らかな場合は \( 0 \)
\( \overline{A} \)：行列 \( A \) の各成分の複素共役からなる行列
\( A^{T} \)：行列 \( A \) の転置
\( A^{*} \)：行列 \( A \) の共役転置（すなわち \( \overline{A}^{T} \) と同じ）
\( A^{-1} \)：\( A \in M_n \) の逆行列
\( A^{-T} \)：\( A \in M_n \) の転置の逆行列
\( A^{-*} \)：\( A \in M_n \) の共役転置の逆行列
\( |A| = [\,|a_{ij}|\,] \)：行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) の各成分の絶対値行列
\( \operatorname{adj} A \)：\( A \in M_n(F) \) の余因子行列の転置（随伴行列）
\( A^{\dagger} \)：\( A \in M_{m,n} \) のムーア＝ペンローズ逆行列（Moore–Penrose inverse）
\( A^{D} \)：\( A \in M_n \) のドレジン逆行列（Drazin inverse）
\( B \)：ベクトル空間の基底
\( e_i \)：標準基底ベクトルの第 \( i \) 成分
\( e \)：すべての成分が 1 のベクトル。または自然対数の底
\( [v]_B \)：ベクトル \( v \) の基底 \( B \) に関する座標表示
\( [T]_{B_1}^{B_2} \)：線形変換 \( T \) の \( B_1 \)-\( B_2 \) 基底に関する表現行列
\( \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n - k)!} \)：二項係数
\( p_A(\cdot) \)：\( A \in M_n \) の特性多項式（characteristic polynomial）
\( \kappa(A) \)：あるノルムに関する行列 \( A \) の条件数（condition number）
\( \det A \)：\( A \in M_n \) の行列式（determinant）
\( \oplus \)：直和（direct sum）
\( \mathcal{G}(A) \)：行列 \( A \) に対応する有向グラフ（directed graph）
\( \| \cdot \|_{D} \)：ノルム \( \| \cdot \| \) に対応する双対ノルム（dual norm）
\( f^{D}(\cdot) \)：プレノルム \( f(\cdot) \) に対応する双対ノルム（dual norm of a pre-norm）
\( \lambda \)：通常、固有値（eigenvalue）を表す記号
\( [\,\lambda_i(A)\,] \)：\( A \in M_n \) の固有値のベクトル
\( n! \)：階乗（factorial）であり、\( n(n - 1) \cdots 2 \cdot 1 \)
\( G_k(A) \)：第 \( k \) 番目のゲルシュゴリン円板（Gersgorin disc）
\( G(A) \)：ゲルシュゴリン領域（Gersgorin region）。すなわちすべてのゲルシュゴリン円板の和集合
\( GL(n, F) \)：\( M_n(F) \) における正則（可逆）行列全体の群
\( A \circ B \)：\( A, B \in M_{m,n}(F) \) のアダマール積（Hadamard product）
\( \gamma(A) \)：原始行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の原始指数（index of primitivity）
\( M(A) \)：行列 \( A \in M_n \) のインジケータ行列（indicator matrix）
\( J_k(\lambda) \)：固有値 \( \lambda \) に対応する \( k \times k \) のジョルダンブロック（Jordan block）
\( q_A(\cdot) \)：\( A \in M_n \) の最小多項式（minimal polynomial）
\( \| \cdot \|_{1} \)：\( l_1 \) ノルム（成分の絶対値の総和）
\( \| \cdot \|_{2} \)：\( l_2 \) ノルム（ユークリッドノルムまたはフロベニウスノルム）
\( \| \cdot \|_{\infty} \)：\( l_{\infty} \) ノルム（最大値ノルム）
\( \| \cdot \|_{p} \)：\( l_p \) ノルム
\( \| x \|_{[k]} \)：ベクトルに対する \( k \)-ノルム
\( \| |A| \|_{1} \)：最大列和ノルム（max column sum matrix norm）
\( \| |A| \|_{2} \)：スペクトルノルム（最大特異値）
\( \| |A| \|_{\infty} \)：最大行和ノルム（max row sum matrix norm）
\( N_{\infty}(A) \)：列の最大ノルムの総和（行列ノルム）
\( \| |A| \|_{\mathrm{tr}} \)：トレースノルム（trace norm）
\( \| A \|_{[k]} \)：カイ・ファン \( k \)-ノルム（Ky Fan \( k \)-norm）
\( r(A) \)：数値半径（numerical radius）
\( \perp \)：直交補空間（orthogonal complement）
\( \operatorname{per} A \)：\( A \in M_n \) の永久式（permanent）
\( \operatorname{rank} A \)：\( A \in M_{m,n} \) の階数（rank）
\( \operatorname{sgn} \tau \)：置換 \( \tau \) の符号（signum of permutation）
\( \sigma \)：通常、特異値（singular value）を表す記号
\( \sigma_1(A) \)：\( A \) の最大特異値、すなわちスペクトルノルム
\( [\,\sigma_i(A)\,] \)：行列 \( A \) の特異値のベクトル
\( \operatorname{span}(S) \)：ベクトル集合 \( S \) の張る部分空間（span）
\( \operatorname{range} A \)：行列 \( A \) の列ベクトルが張る空間（列空間）
\( \operatorname{nullspace} A \)：方程式 \( A x = 0 \) の解空間（核空間）
\( \rho(A) \)：\( A \in M_n \) のスペクトル半径（spectral radius）
\( \sigma(A) \)：スペクトル（spectrum）、すなわち \( A \) の固有値の集合（重複を含む）
\( A[\alpha, \beta] \)：添字集合 \( \alpha, \beta \) によって定義される部分行列
\( A[\alpha] \)：添字集合 \( \alpha \) によって定義される主小行列（principal submatrix）
\( \operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii} \)：行列 \( A = [a_{ij}] \) のトレース（trace）
\( E_k(A) \)：行列 \( A \) の \( k \) 次主小行列式の総和（sum of principal minors）
\( S_k(A) \)：固有値の \( k \) 次基本対称式（kth elementary symmetric function of eigenvalues）
\( A / A_{11} \)：行列 \( A \) における \( A_{11} \) のシュール補（Schur complement）
\( C_r(A) \)：行列 \( A \) の第 \( r \) 次複合行列（compound matrix）
\( \Phi, \Psi \)：通常、対角行列（diagonal matrices）
\([A, B]\)：行列 \( A, B \in M_n \) の交換子（commutator）；\( AB - BA \)
]\(A, B[\)：行列 \( A, B \in M_n \) のジョルダン積（Jordan product）；\( AB + BA \)
\( C(a, b) = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \end{bmatrix} \)：実ジョルダン標準形ブロック（real Jordan canonical form block）
\( w(A, \lambda) \)：ウェイヤー特性（Weyr characteristic）；\( (w_1(A, \lambda), \ldots, w_q(A, \lambda)) \)
\( x_i(A)^\downarrow \)：実ベクトル \( x \) の成分を非増加順に並べたもの
\( x_i(A)^\uparrow \)：実ベクトル \( x \) の成分を非減少順に並べたもの
\( J_k \)：タイプ I（対称）∗合同標準形ブロック（Type I symmetric ∗-congruence canonical block）
\( H_{2k}(\mu) \)：タイプ II 合同および ∗合同標準形ブロック（Type II congruence and ∗-congruence canonical block）
\( \Lambda_k \)：タイプ I（実）合同標準形ブロック（Type I real congruence canonical block）
\(\langle A, B \rangle_F\)：フロベニウス内積（Frobenius inner product）
\( B_{\|\cdot\|}(r; x) \)：点 \( x \) を中心とし、半径 \( r \) のノルム球（norm ball of radius \( r \) around \( x \)）
\( F(A) \)：行列 \( A \in M_n \) の値域（field of values）
\( R_i'(A) \)：削除行和（deleted row sum）
\( C_i'(A) \)：削除列和（deleted column sum）
\( A \! \preceq \! B \)：エルミート行列に対するロウナー順序（Loewner partial order）
\( H(A) \)：エルミート部分（Hermitian part）で、\( H(A) = \frac{1}{2}(A + A^*) \)
名前のついている主な行列
正方行列 行と列の数が等しい行列（\( n \times n \) 行列）
対称行列 \( A = A^T \) を満たす実行列
歪対称行列（反対称行列） \( A^T = -A \) を満たす実行列
Hermitian 行列（エルミート行列） \( A^H = A \) を満たす複素行列
Skew-Hermitian 行列（反エルミート行列） \( A^H = -A \) を満たす複素行列
直交行列 \( A^T A = I \) を満たす実行列
ユニタリ行列 \( A^H A = I \) を満たす複素行列
正規行列 \( A^H A = A A^H \) を満たす行列
射影行列 \( A^2 = A \) を満たす行列
斜交行列（スキュー射影） \( A^2 = A \) かつ \( A^H \ne A \) の行列
可換行列 \( AB = BA \) を満たす 2 つの行列 \( A, B \)
可逆行列 \( \det(A) \ne 0 \) の正方行列
特異行列 \( \det(A) = 0 \) の正方行列
正定値行列 任意の非零ベクトル \( x \) に対して \( x^T A x > 0 \) を満たす対称（または Hermitian）行列
半正定値行列 任意の \( x \) に対して \( x^T A x \ge 0 \) を満たす対称（または Hermitian）行列
直交射影行列 \( A^2 = A \) かつ \( A = A^T \) を満たす行列
上三角行列 主対角線より下の要素がすべて 0 の行列
下三角行列 主対角線より上の要素がすべて 0 の行列
対角行列 主対角線以外の要素がすべて 0 の行列
単位下三角行列 下三角行列で、主対角線の成分がすべて 1 の行列
行列の行列式とトレースの性質
行列式の性質
\( \det(AB) = \det(A)\det(B) \)、
\( \det(A^T) = \det(A) \)、
\( \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \)
トレースの性質
\( \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \)、また
\( \operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}(A) \)
行列解析の総本山
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