[行列解析7.8.P14]

7.8.問題14
- 問題 7.8.P14
行列解析の総本山

7.8.問題14

問題 7.8.P14

行列 \( A = H + iK \) の実部 \( H \) および虚部 \( K \) に関する行列式の不等式を扱う。

ここで \( A \) は可逆であり、∗合同変換（∗congruence）によって対角化できると仮定する。

このとき、ある正則行列 \( S \in M_n \) と単位行列 \( D = \operatorname{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n}) \) が存在して

A = S D S^*

と表せる。さらに、

H = S \Lambda S^*, \quad K = S \Phi S^*

と書ける。ただし、\(\Lambda = \operatorname{diag}(\cos \theta_1, \ldots, \cos \theta_n)\)、\(\Phi = \operatorname{diag}(\sin \theta_1, \ldots, \sin \theta_n)\) である。

\( C \in M_n \) がエルミート部分 \( H = (C + C^*)/2 \) において正定値であるとき、\( C \) は∗合同変換によって対角化可能であることを示せ。

また、∗合同変換により対角化可能ではあるが、正定値なエルミート部分を持たない行列の例を挙げよ。

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行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。