7.8.問題集
問題 7.8.P1
\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。
もし \( A \) が正定値で、かつ \( B \) の対角成分がすべて正であるとき、式 (7.8.17) を用いて \( A \circ B \) が正定値であることを示せ。
これは式 (7.5.3(b)) に対応する。
\max \{ a_{11} \cdots a_{nn} \det B, \, b_{11} \cdots b_{nn} \det A \}
\le \det (A \circ B)
問題 7.8.P2
\( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^n \in M_{nk} \) とし、各ブロック \( A_{ij} \in M_k \) とする。
このとき、アダマールの不等式 (7.8.2) のブロック行列版を次のように証明せよ：
|\det A| \le
\left(
\prod_{i=1}^{n}
\left(
\sum_{j=1}^{n}
\|A_{ij}\|_2^2
\right)
\right)^{k/2}
ここで \( \|A_{ij}\|_2 \) は行列 \( A_{ij} \) のフロベニウスノルム（またはユークリッドノルム）を表す。
\( k = 1 \) および \( n = 1 \) の場合、この不等式はそれぞれどのような形になるかを述べよ。
問題 7.8.P3
\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。このとき、次の3つの条件が同値であることを示せ。
(a) \( A \circ B = AB \)
(b) \( \det(A \circ B) = \det(AB) \)
(c) \( A \) および \( B \) は正の対角行列である。
問題 7.8.P4
\( A \in M_n \) を正定値行列とし、関数 \( f(A) = (\det A)^{1/n} \) と定義する。
(a) 次を示せ：
f(A) = \min \left\{ \frac{1}{n} \operatorname{tr}(AB) : B \text{ は正定値行列で } \det B = 1 \right\}
(b) 上の結果から、\( f(A) \) が正定値行列全体のなす凸集合上で凹関数であることを導け。
(c) (b) の結果から、ミンコフスキーの行列式不等式 (7.8.21) を導出せよ。
問題 7.8.P5
次のブロック行列が正定値であると仮定する：
H_+ =
\begin{bmatrix}
A & B \\
B^* & C
\end{bmatrix}
(a) 次の行列も正定値であることを示せ：
H_- =
\begin{bmatrix}
A & -B \\
-B^* & C
\end{bmatrix}
(b) ミンコフスキーの不等式 (7.8.22) を正定値行列 \( H_+ \) と \( H_- \) に適用し、フィッシャーの不等式 (7.8.6) を導出せよ。
問題 7.8.P6
\( H = \begin{bmatrix} A & B \\ B^* & C \end{bmatrix} \in M_n \) が正定値であるとする。
\( H = LL^* \) をコレスキー分解（式 (7.2.9)）とし、
L =
\begin{bmatrix}
L_{11} & 0 \\
L_{21} & L_{22}
\end{bmatrix}
と書けるとする。このとき、
\( A = L_{11}L_{11}^* \)、および \( C = L_{22}L_{22}^* + L_{21}L_{21}^* \) が成り立つ。
これらの関係を用いてフィッシャーの不等式 (7.8.6) を証明せよ。
問題 7.8.P7
\( A = [a_{ij}] \in M_3(\mathbb{R}) \) とし、すべての成分が \( |a_{ij}| \le 1 \) を満たすとする。このとき、 \( |\det A| \le 3\sqrt{3} \) であり、この上限は達成されないことを示す。次の関係式を用いて詳細を説明せよ：
\frac{\partial}{\partial a_{ij}}(\det A) = (-1)^{i+j} \det A[\{i\}^c, \{j\}^c],
\quad
\frac{\partial^2}{\partial a_{ij}^2}(\det A) = 0
もし \( \det A[\{i\}^c, \{j\}^c] = 0 \) ならば、\( \det A \) は \( a_{ij} \) に依存しないので、\( a_{ij} = \pm1 \) としてよい。
一方、\( \det A[\{i\}^c, \{j\}^c] \ne 0 \) であれば、\( -1 \lt a_{ij} \lt 1 \) の範囲内で \( \det A \) は相対的な極値を持たない。したがって、与えられた条件の下で \( |\det A| \) はすべての \( a_{ij} = \pm1 \) のとき最大となる。
\( n = 3 \) の場合、このような行列は有限個しか存在しない。
一般の \( n \gt 3 \) の場合はどうなるか？
また、\( A \) が複素成分をもつ場合、解析関数の最大値原理を用いて、集合 \( \{A \in M_n : |a_{ij}| \le 1\} \) の内部では \( |\det A| \) が最大値をとらないことを示せ。
問題 7.8.P8
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) とする。
(a) アダマールの不等式を用いて、次の不等式を導け（これはフレドホルム積分方程式の理論における有名な不等式である）：
|\det A| \le \|A\|_\infty^n \, n^{n/2}
(b) \( A \) の特性多項式（式 (1.2.10a)）を考え、各 \( k = 1, \ldots, n \) に対して次の不等式を示せ：
|a_{n-k}| \le \binom{n}{k} \|A\|_\infty^k \, k^{k/2}
問題 7.8.P9
\( A \in M_n \) を正定値行列とする。このとき次を示せ：
\det A = \min \left\{ \prod_{i=1}^n v_i^* A v_i : v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{C}^n \text{ は直交正規系} \right\}
問題 7.8.P10
\( A \in M_n \) を正定値行列とし、\( u_1, \ldots, u_n \in \mathbb{C}^n \) が直交正規系であるとする。前問の結果を用いて、次が成り立つことを示せ：
u_1, \ldots, u_n \text{ が } A \text{ の固有ベクトルであり、 } u_i^* A u_i \text{ が } A \text{ の固有値である}
このとき、次の等式が成り立つことと同値である：
\det A = \prod_{i=1}^n u_i^* A u_i
問題 7.8.P11
\( A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^* & A_{22} \end{bmatrix} \) が正定値であるとする。シュア補に対する逆フィッシャー不等式を証明せよ：
\det(A / A_{11}) \, \det(A / A_{22}) \le \det A
（式 (0.8.5) を参照。）
問題 7.8.P12
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を正定値行列とし、次のように分割する：
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & x \\
x^* & a_{nn}
\end{bmatrix},
\quad A_{11} \in M_{n-1}
コーシー展開式 (0.8.5.10) またはシュア補を用いて次を示せ：
\det A = (a_{nn} - x^* A_{11}^{-1} x) \det A_{11} \le a_{nn} \det A_{11}
等号成立は \( x = 0 \) のときに限られる。この結果を用いて、アダマールの不等式 (7.8.2) とその等号成立条件を数学的帰納法で証明せよ。
問題 7.8.P13
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を正定値行列とし、その固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。式 (1.2.14) で定義される \( k \) 次の基本対称多項式 \( S_k(t_1, \ldots, t_n) \) を考える。
\( S_1(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \operatorname{tr} A = S_1(a_{11}, \ldots, a_{nn}) \) であり、アダマールの不等式 (7.8.2) は次のように書き換えられる：
S_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \le S_n(a_{11}, \ldots, a_{nn})
式 (1.2.16) および (7.8.2) を用いて、各 \( k = 1, \ldots, n \) に対して次を示せ：
S_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \le S_k(a_{11}, \ldots, a_{nn})
最後に、基本的な行列式不等式 (7.8.20)、(7.8.25)、および (7.8.28) の各種バージョンは、可逆で正規化可能な行列に対しても成り立つことに注意せよ。これらの不等式は統一的な手法で導かれる。
ここで \( A = H + iK \in M_n \) とし、\( H \) および \( K \) はエルミート行列とする。\( A \) が可逆で、∗合同変換によって対角化可能、すなわち可逆行列 \( S \in M_n \) および対角ユニタリ行列 \( D = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n}) \) が存在して \( A = S D S^* \) と書けると仮定する（式 (4.5.24)、(4.5.P37) 参照）。
このとき、 \( H = S \Lambda S^* \)、\( K = S \Phi S^* \) が成り立ち、
\Lambda = \mathrm{diag}(\cos \theta_1, \ldots, \cos \theta_n) \\
\Phi = \mathrm{diag}(\sin \theta_1, \ldots, \sin \theta_n)
と表される。
以下の7つの問題ではこの記法を用いる。
問題 7.8.P14
行列 \( A = H + iK \) の実部 \( H \) および虚部 \( K \) に関する行列式の不等式を扱う。
ここで \( A \) は可逆であり、∗合同変換（∗congruence）によって対角化できると仮定する。
このとき、ある正則行列 \( S \in M_n \) と単位行列 \( D = \operatorname{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n}) \) が存在して
A = S D S^*
と表せる。さらに、
H = S \Lambda S^*, \quad K = S \Phi S^*
と書ける。ただし、\(\Lambda = \operatorname{diag}(\cos \theta_1, \ldots, \cos \theta_n)\)、\(\Phi = \operatorname{diag}(\sin \theta_1, \ldots, \sin \theta_n)\) である。
\( C \in M_n \) がエルミート部分 \( H = (C + C^*)/2 \) において正定値であるとき、\( C \) は∗合同変換によって対角化可能であることを示せ。
また、∗合同変換により対角化可能ではあるが、正定値なエルミート部分を持たない行列の例を挙げよ。
問題 7.8.P15
次を確認せよ：
| \det H | = | \det S |^2 | \det \Lambda | = | \det S |^2 \prod_{j=1}^n | \cos \theta_j |,
| \det K | = | \det S |^2 | \det \Phi | = | \det S |^2 \prod_{j=1}^n | \sin \theta_j |,
| \det A | = | \det S |^2.
問題 7.8.P16（式 (7.8.20) の類似形）
次の主張を示せ：
\(| \det H | \le | \det A |\)。
これを証明するためには、次の不等式を示せば十分であることを説明し、それを証明せよ。
\prod_{j=1}^n | \cos \theta_j | \le 1.
問題 7.8.P17（式 (7.8.25) の類似形）
次の主張を示せ：
\(| \det H | + | \det K | \le | \det A |\) （ただし \( n \ge 2 \)）。
これを証明するためには、次の不等式を示せば十分であることを説明し、それを証明せよ：
\prod_{j=1}^n | \cos \theta_j | + \prod_{j=1}^n | \sin \theta_j | \le 1.
ただし \( n \ge 2 \) のときのみ成り立つことに注意し、\( n = 1 \) の場合に何が問題となるかを説明せよ。
問題 7.8.P18（式 (7.8.28) の類似形）
次の主張を示せ：
| \det H |^{2/n} + | \det K |^{2/n} \le | \det A |^{2/n}.
これを証明するためには、次を示せば十分であることを説明し、それを証明せよ：
\left( \prod_{j=1}^n \cos^2 \theta_j \right)^{1/n} +
\left( \prod_{j=1}^n \sin^2 \theta_j \right)^{1/n} \le 1.
問題 7.8.P19（式 (7.8.22) の別証）
\( H, K \) が正定値であるとき、次の主張を示せ：
(\det H)^{1/n} + (\det K)^{1/n} \le (\det(H + K))^{1/n}.
これを証明するためには、各 \( \theta_j \in (0, \pi/2) \) の仮定のもとで次を示せば十分であることを説明し、それを証明せよ：
\left( \prod_{j=1}^n \cos \theta_j \right)^{1/n} +
\left( \prod_{j=1}^n \sin \theta_j \right)^{1/n}
\le
\left( \prod_{j=1}^n (\cos \theta_j + \sin \theta_j) \right)^{1/n}.
問題 7.8.P20
問題 7.8.P16、7.8.P17、および 7.8.P18 の結果から、それぞれ不等式 (7.8.20)、(7.8.25)、(7.8.28) を導け。
行列解析の総本山
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