7.7.9 定理：エルミート行列の半正定値性と縮小行列による分解
この定理では、エルミート行列が半正定値であるための条件と、それが縮小行列を用いた分解によって特徴づけられることを示す。また、行列 \( A \) および \( C \) が正則な場合の等価条件についても述べる。
定理7.7.9．
H =
\begin{bmatrix}
A & B \\
B^{*} & C
\end{bmatrix}
\in M_{p+q}
をエルミート行列とし、\( A \in M_p \)、\( C \in M_q \) とする。このとき次の2つの条件は同値である。
(a) \( H \) は半正定値である。
(b) \( A \) および \( C \) は半正定値であり、縮小行列 \( X \in M_{p,q} \) が存在して
B = A^{1/2} X C^{1/2}
が成り立つ。
もし \( H \) が半正定値であるなら、(b) の縮小行列 \( X \) は次のように選ぶことができる：
X = \lim_{i \to \infty}
(A + k_i^{-1} I_p)^{-1/2} \,
B \,
(C + k_i^{-1} I_q)^{-1/2}
\tag{7.7.9.1}
ただし、\( k_i \to \infty \) となる正の整数列が存在するものとする。
さらに、\( H \) が半正定値で、かつ \( A \) および \( C \) が非特異（正則）である場合、次が成り立つ：
X = A^{-1/2} B C^{-1/2}
このとき、次の3つの条件もまた互いに同値である。
(c) \( A \) および \( C \) は正定値であり、かつ \( \rho(B^{*} A^{-1} B C^{-1}) \le 1 \) が成り立つ。
(d) \( A \) および \( C \) は正定値であり、かつ \( A^{-1/2} B C^{-1/2} \) は縮小である。
(e) \( A \) および \( C \) は正定値であり、かつ \( C - B^{*} A^{-1} B \) は半正定値である。
証明
(a) ⇒ (b)： 各 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して
H_k = H + k^{-1} I_n
とおくと、\( H_k \)、\( A_k = A + k^{-1} I_p \)、および \( C_k = C + k^{-1} I_q \) はそれぞれ正定値である。したがって、(7.7.7(e)) より、各 \( k \) に対して縮小行列 \( X_k \in M_{p,q} \) が存在して
B = A_k^{1/2} X_k C_k^{1/2}
が成り立つ。前の補題（補題7.7.8）より、ある数列 \( k_i \to \infty \) が存在して
X = \lim_{i \to \infty} X_{k_i}
が縮小であり、
\lim_{i \to \infty} A_{k_i}^{1/2} = A^{1/2}, \quad
\lim_{i \to \infty} C_{k_i}^{1/2} = C^{1/2},
さらに
B = \lim_{i \to \infty} A_{k_i}^{1/2} X_{k_i} C_{k_i}^{1/2}
= A^{1/2} X C^{1/2}
が得られる。
(b) ⇒ (a)： もし \( B = A^{1/2} X C^{1/2} \) で \( X \) が縮小であるならば、\( S = A^{1/2} \oplus C^{1/2} \) とおく。このとき (7.1.8(b)) および (7.7.6) より、
H =
\begin{bmatrix}
A & B \\
B^{*} & C
\end{bmatrix}
=
S
\begin{bmatrix}
I_p & X \\
X^{*} & I_q
\end{bmatrix}
S^{*}
となり、\( H \) は半正定値である。
(b) ⇒ (c) ⇒ (d) ⇒ (e) ⇒ (a) の推論は、定理 (7.7.7) における対応する推論と同様に進む。
補足：縮小行列の性質保持
式 (7.7.9.1) の特徴づけには重要な帰結がある。すなわち、
(A + \varepsilon I_p)^{-1/2} B (C + \varepsilon I_q)^{-1/2}
が、十分小さい \( \varepsilon \gt 0 \) に対してエルミート、反エルミート、対称、反対称、半正定値、または実行列であるならば、対応する縮小行列 \( X \) を同じ性質をもつように選ぶことができる。
行列解析の総本山
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