[行列解析7.6.P21]

7.6.問題21
- 7.6.P21.
行列解析の総本山

7.6.問題21

7.6.P21.

（継続；同じ表記）ノルム \(\|\cdot\|\) の等長変換群を

F_{\|\cdot\|} = \{ A \in M_n(F) : A \text{ は } \|\cdot\| \text{ に対して等長変換} \}

とする（5.4.P11参照）。\(A \in F_{\|\cdot\|}\) （よって \(|\det A| = 1\)）、ノルム \(\|\cdot\|\) に対応する Loewner–John 行列を \(L\)、\(Q = L^2\) とすると、次が成り立つことを示せ：(a)

x^* A^* Q A x = (A x)^* Q (A x) \le \| A x \|^2 = \| x \|^2

よって \(A^* Q A \in E(\|\cdot\|)\)。(b)

\det(A^* Q A) = |\det A|^2 \det Q = \det Q

従って

A^* Q A = Q

(c) (7.6.11) から、\(F = \mathbb{C}\) の場合は \(L A L^{-1}\) はユニタリ、\(F = \mathbb{R}\) の場合は実直交行列である (7.6.12)。(d) \(F\) は有界な乗法行列群であり、各要素は同じ正定値行列 \(L\) を通じてユニタリ行列に相似である。各要素は対角化可能であり、\(L F L^{-1}\) は \(M_n(F)\) のユニタリ群の部分群である。