[行列解析7.6.8]系：正定値行列における行列式の算術・幾何平均不等式

7.6.8 正定値行列における行列式の算術・幾何平均不等式

\(A, B \in M_n\) を正定値行列とし、\(0 \lt \alpha \lt 1\) とする。このとき次の不等式が成り立つ：

\det(\alpha A + (1-\alpha) B) \ge (\det A)^\alpha (\det B)^{1-\alpha}

等号成立は \(A = B\) の場合に限る。

\(A, B \in M_n\) が正定値行列であるとき、なぜ次の不等式が成り立つか説明せよ：

\det\left(\frac{A + B}{2}\right) \ge \sqrt{\det(AB)}

等号成立は \(A = B\) の場合に限る。この不等式は行列式に対する算術平均・幾何平均不等式と考えることができる。

(7.6.4(a)) の別の応用は、(7.6.6) と同様の考え方に基づく。