7.6.正定値エルミート行列上の対数行列式の厳密凹性
定理7.6.6.
関数 \(f(A) = \log \det A\) は、\(M_n\) における正定値エルミート行列の凸集合上で厳密凹関数である。
証明.
\(A, B \in M_n\) を正定値行列とする。すべての \(\alpha \in (0,1)\) に対して次の不等式を示す必要がある：
\log \det (\alpha A + (1-\alpha) B) \ge \alpha \log \det A + (1-\alpha) \log \det B
等号成立は \(A = B\) のときに限る。(7.6.4(a)) を用いて、非特異行列 \(S \in M_n\) により \(A = S I S^\ast\) および \(B = S \Lambda S^\ast\) と書ける。ここで \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) であり、各 \(\lambda_i > 0\) である。
すると
f(\alpha A + (1-\alpha) B) = f(S(\alpha I + (1-\alpha)\Lambda)S^\ast) = f(SS^\ast) + f(\alpha I + (1-\alpha)\Lambda) = f(A) + f(\alpha I + (1-\alpha)\Lambda)
一方で
\alpha f(A) + (1-\alpha) f(B) = \alpha f(A) + (1-\alpha) f(S \Lambda S^\ast) = \alpha f(A) + (1-\alpha)(f(SS^\ast) + f(\Lambda)) = f(A) + (1-\alpha) f(\Lambda)
よって、すべての \(\alpha \in (0,1)\) に対して \(f(\alpha I + (1-\alpha)\Lambda) \ge (1-\alpha) f(\Lambda)\) を示せば十分である。これは対数関数の厳密凹性により従う：
f(\alpha I + (1-\alpha)\Lambda) = \log \prod_{i=1}^{n} (\alpha + (1-\alpha)\lambda_i) = \sum_{i=1}^{n} \log (\alpha + (1-\alpha)\lambda_i) \ge \sum_{i=1}^{n} (\alpha \log 1 + (1-\alpha) \log \lambda_i) = (1-\alpha) \sum_{i=1}^{n} \log \lambda_i = (1-\alpha) \log \prod_{i=1}^{n} \lambda_i = (1-\alpha) \log \det \Lambda = (1-\alpha) f(\Lambda)
この不等式が等号となるのはすべての \(\lambda_i = 1\) の場合であり、すなわち \(\Lambda = I\) であり、さらに \(B = S I S^\ast = A\) の場合に限る。
定理7.6.6 は、しばしば不等式 (7.6.7) を指数関数化した形で用いられる。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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