[行列解析7.6.3]半正定値特異エルミート行列の積の相似性とジョルダン標準形

7.6.定理

\(A, B \in M_n\) がエルミート行列であり、\(A\) が半正定値かつ特異であるとする。

このとき、\(AB\) は \(\Lambda \oplus N\) に相似である。

ここで \(\Lambda\) は実対角行列であり、\(N = J_2(0) \oplus \cdots \oplus J_2(0)\) は 2×2 の零乗的ブロックの直和である。

直和の \(\Lambda\) または \(N\) は存在しない場合もある。

非特異行列 \(S\) を選んで \(S^{-1} A S^{-\ast} = I_r \oplus 0_{n-r}\) とし、\(S^\ast B S = [B_{ij}]\) を \(I_r \oplus 0_{n-r}\) に合わせて分割する。すると

S^{-1} A B S = (S^{-1} A S^{-\ast})(S^\ast B S) = \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

となり、ここで \(B_{11} \in M_r\) はエルミート行列である。もし \(B_{11}\) が非特異であれば、(2.4.6.1) により

\begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

は \(B_{11} \oplus 0_{n-r}\) に相似であり、対角化可能であることが保証される。

もし \(\mathrm{rank}\, B_{11} = p \lt r\) ならば、\(B_{11}\) は \(D \oplus 0_{r-p}\) に相似であり、ここで \(D \in M_p(\mathbb{R})\) は非特異な実対角行列である。

次に \(B_{12}\) を

B_{12} = \begin{pmatrix} C_1 \\ C_2 \end{pmatrix}, \quad C_1 \in M_{p,n-r}

と分割し、再び (2.4.6.1) を用いると

\begin{pmatrix} D & 0 & C_1 \\ 0 & 0 & C_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ は相似で } \begin{pmatrix} D & 0 & 0 \\ 0 & 0 & C_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = D \oplus \begin{pmatrix} 0 & C_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

となる。最後に

\begin{pmatrix} 0 & C_2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

は零乗的であり、その二乗は零であることから、ジョルダン標準形は零行列と \(\mathrm{rank}\, C_2\) 個の \(J_2(0)\) の直和となる。

次に、エルミート行列のペアを対角化しつつエルミート性を保持する別の方法に移る。

以下の主張の証明は、(7.6.1) の証明と平行である。