[行列解析7.5.P25]

7.5.問題25
- 7.5.P25
行列解析の総本山

7.5.問題25

7.5.P25

\( A \in M_n \) が半正定値、\( z \in \mathbb{C}^n \)、\( c \in \mathbb{R} \)、\( e \in \mathbb{R}^n \) を全ての成分が 1 のベクトルとする。

\( B = [b_{ij}] = A + z e^* + e z^* + c J_n \) と定義する。

(a) \( B \) はエルミートであるが、半正定値であるとは限らないことを説明せよ。

(b) アダマール指数行列 \( H = [e^{b_{ij}}] \) が半正定値であることを示せ。さらに \( A \) に二行が等しくない限り \( H \) は正定値である。

(c) \( x \in \mathbb{C}^n \) が \( x^* e = 0 \) を満たすなら、\( x^* B x \ge 0 \) が成り立つことを示せ。この行列 \( B \) は条件付き半正定値であり、条件とは \( x \) が \( \mathbb{C}^n \) の (n−1) 次元部分空間に属し、ベクトル \( e \) に直交することである。