7.5.問題22
7.5.P22
(7.5.P15) を再考し、(7.5.P18) の考え方を用いてヒルベルト行列 \( H_n \) が正定値であることを示す。
(a) \( Z = J_n + X + X^{(2)} + X^{(3)} + \cdots \) は半正定値である。
(b) \( x \in \mathbb{C}^n \) が 0 でなく \( x^* Z x = 0 \) を満たすならば、すべての \( k = 1, 2, \dots \) について \( x^* J_n x = 0 \) および \( x^* X^{(k)} x = 0 \) が成り立つ。したがって \( J_n x = 0 \) および \( X^{(k)} x = 0 \) もすべての \( k \) で成り立つ。
(c) \( \alpha_j = (j-1)/j \) とすると、次が成り立つことを説明せよ。
\sum_{i=1}^n x_i = 0 \quad \text{および} \quad \sum_{i=1}^n \alpha_i^k x_i = 0 \text{ がすべての } k = 1,2,\dots
(d) なぜこれから \( x = 0 \) が導かれるのか？ (e) よって \( H_n \) は正定値である。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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