7.5.問題19
7.5.P19
次の \( 2 \times 2 \) 行列を考える。
A =
\begin{bmatrix}
\alpha_1 & \beta \\
\overline{\beta} & \alpha_2
\end{bmatrix}
\in M_2
\( A \) が半正定値であるとき、
B =
\begin{bmatrix}
e^{\alpha_1} & e^{\beta} \\
e^{\overline{\beta}} & e^{\alpha_2}
\end{bmatrix}
も半正定値である。
\( B \) が特異であるのは、かつてない場合 \( \alpha_1 = \alpha_2 = \beta \) のとき、かつそのときに限ることを示せ。
(a) \(\det B = 0 \Rightarrow \alpha_1 + \alpha_2 = 2\operatorname{Re}\beta \Rightarrow (\alpha_1^2 + \alpha_2^2)/2 = 2(\operatorname{Re}\beta)^2 - \alpha_1\alpha_2.\)
(b) \( A \) が半正定値であるためには \( \alpha_1\alpha_2 \ge |\beta|^2 \) が必要である。
(c) 算術平均–幾何平均の不等式から次が成り立つ。
2(\operatorname{Re}\beta)^2 - \alpha_1\alpha_2 = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2} \ge \alpha_1\alpha_2 \ge (\operatorname{Re}\beta)^2 + (\operatorname{Im}\beta)^2
(d) これより \((\operatorname{Re}\beta)^2 \ge \alpha_1\alpha_2 + (\operatorname{Im}\beta)^2 \ge (\operatorname{Re}\beta)^2 + 2(\operatorname{Im}\beta)^2\) となり、したがって \(\operatorname{Im}\beta = 0\) および \(\alpha_1 + \alpha_2 = 2\beta\) が導かれる。
(e) (7.5.10)および(b)から次が得られる。
\beta^2 \ge 2\beta^2 - \alpha_1\alpha_2 = \frac{\alpha_1^2 + \alpha_2^2}{2} \ge \alpha_1\alpha_2 \ge \beta^2
よって、算術平均と幾何平均の不等式の等号成立条件から \(\alpha_1 = \alpha_2\) が結論される。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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