[行列解析7.5.P18]

7.5.問題18

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) を半正定値とし、\( B_t = [e^{t a_{ij}}] \) とする。すべての \( t \gt 0 \) に対して \( B_t \) が半正定値であることを示せ。また、次の条件が同値であることを証明せよ。

(a) \( B_1 = [e^{a_{ij}}] \) が特異である。

(b) \( 0 \neq x \in \mathbb{C}^n \) が存在して、すべての \( t \gt 0 \) に対し \( B_t x = 0 \) である。

(c) すべての \( t \gt 0 \) に対し \( B_t \) が特異である。

ヒント：\( x \neq 0 \) かつ \( x^*B_1x = 0 \) ならば、

0 = x^*B_1x = x^*J_nx + x^*Ax + \frac{1}{2!}x^*A^{(2)}x + \cdots

したがって \( x^*J_nx = 0 \) および \( x^*A^{(k)}x = 0 \) がすべての \( k = 1, 2, \dots \) について成り立つ。よって、

0 = x^*B_tx = x^*J_nx + tx^*Ax + \frac{t^2}{2!}x^*A^{(2)}x + \cdots

となるため、すべての \( t \gt 0 \) で \( B_t x = 0 \) が成り立つ。