[行列解析7.5.P15]

7.5.問題15

ヒルベルト行列 \( H_n = [1/(i + j - 1)] \in M_n \) が半正定値であることの証明の概要を次の手順に従って示せ。

(a) \( X = [\xi_{ij}] = [((i - 1)(j - 1))/(ij)] \in M_n \) は半正定値行列であり、すべての \( i, j = 1, \dots, n \) について \( 0 \le \xi_{ij} \lt 1 \) が成り立つ。

(b) \( Y = [i^{-1}j^{-1}] \in M_n \) は対角成分が正の半正定値行列である。

(c) \( Z = [1/(1 - \xi_{ij})] \) は半正定値である。

(d) 式 (7.2.5) および (0.9.12.2) を用いて、\( H_n \) が実際には正定値であることを示せ。別のアプローチについては (7.5.P22) を参照せよ。