[行列解析7.5.4]定理：ムタールの定理

7.5.4　定理（ムタールの定理）

行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) について、次が成り立つ。

\( A \) が半正定値であることと、すべての半正定値行列 \( B = [b_{ij}] \in M_n \) に対して

\mathrm{tr}(A B^{T}) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} b_{ij} \ge 0

が成り立つことは同値である。

証明： まず、\( A \) および \( B \) が半正定値であると仮定する。\( e \in \mathbb{C}^n \) を全成分が1のベクトルとする。このとき、\(\mathrm{diag}(e) = I\) であり、

\mathrm{tr}(A B^{T}) = \mathrm{tr}\!\big((\mathrm{diag}\,e)\,A\,(\mathrm{diag}\,e)\,B^{T}\big) = e^{*}(A \circ B)e

が成り立つ。\( A \circ B \) は半正定値であるから、その二次形式 \( e^{*}(A \circ B)e \) は非負である。

逆に、任意の半正定値行列 \( B \) に対して \(\mathrm{tr}(A B^{T}) \ge 0\) が成り立つと仮定する。\( x = [x_i] \in \mathbb{C}^n \) とし、\( B = \bar{x}x^{T} \) とおく。このとき、

\mathrm{tr}(A B^{T}) = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij}\,\bar{x}_i\,x_j = x^{*}A x \ge 0

したがって、すべての \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( x^{*}A x \ge 0 \) が成り立つ。ゆえに \( A \) は半正定値である。