7.4.問題4
7.4.P4
固有値条件数と角度の幾何学的解釈
\( A \in M_n \) が正定値行列で、固有値が \( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \) であるとする。また、\( A u_1 = \lambda_1 u_1 \)、\( A u_n = \lambda_n u_n \) を満たす直交正規ベクトル \( u_1, u_n \in \mathbb{C}^n \) をとる。 さらに、\( \kappa = \lambda_n / \lambda_1 \) を \( A \) のスペクトル条件数とする。
式 (7.4.12.12) から次の不等式を導け。
(7.4.12.13)
\frac{ \langle x, A x \rangle }{ \|x\| \, \|A x\| }
\ge
\frac{ 2 \sqrt{ \lambda_1 \lambda_n } }{ \lambda_1 + \lambda_n }
=
\frac{ 2 \sqrt{\kappa} }{ \kappa + 1 },
\quad \forall x \ne 0, \, x \in \mathbb{C}^n
等号は、ベクトル \( x_0 = \sqrt{\lambda_n} u_1 + \sqrt{\lambda_1} u_n \) に対して成立する。
\( A \) および \( x \) が実数の場合、この不等式は次のように幾何学的に解釈できる。
(7.4.12.14)
\cos \theta_{x, A x}
\ge
\frac{ 2 \sqrt{\kappa} }{ \kappa + 1 },
\quad \forall \|x\| = 1, \, x \in \mathbb{R}^n
したがって、任意の単位ベクトル \( x \) に対して \( 0 \le \theta_{x, A x} \le \cos^{-1}\left( \frac{2 \sqrt{\kappa}}{\kappa + 1} \right) \) が成り立ち、下限の等号は \( A \) の固有ベクトルで、上限の等号は \( x_0 \) に対して達成される。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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