7.4.問題2
7.4.P2
行列要素に対する改良された評価
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が正定値行列であり、固有値が \( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \) であるとする。すべての \( i \ne j \) に対して、(7.1.P1) より \( |a_{ij}|^2 \lt a_{ii} a_{jj} \) が成り立つことが知られている。式 (7.4.12.2) を用いて、次のより強い評価式を証明せよ。
|a_{ij}|^2 \le
\left( \frac{\lambda_n - \lambda_1}{\lambda_n + \lambda_1} \right)^2
a_{ii} a_{jj}, \quad \forall i \ne j
(7.4.12.2)
|x^* A y|^2 \le
\left( \frac{\lambda_1 - \lambda_n}{\lambda_1 + \lambda_n} \right)^2
(x^* A x)(y^* A y) \\
\quad \text{for all orthogonal } x, y \in \mathbb{C}^n
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント