7.4.問題11
7.4.P11
Berenstein–Veinstein不等式とBergström不等式の同値性
\( A \in M_n \) が正定値行列であり、\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( \alpha, \beta \) が実数で正の値であるとする。次のように定義する：
A_\alpha =
\begin{bmatrix}
A & x \\
x^* & \alpha
\end{bmatrix}, \quad
B_\beta =
\begin{bmatrix}
B & y \\
y^* & \beta
\end{bmatrix}
(a) 次を示せ：
\frac{\det A_\alpha}{\det A} = \alpha - x^* A^{-1} x \\
\quad \\
\frac{\det B_\beta}{\det B} = \beta - y^* B^{-1} y
\frac{\det(A_\alpha + B_\beta)}{\det(A + B)}
= \alpha + \beta - (x + y)^* (A + B)^{-1} (x + y).
(b) 次の関係を示せ：
(7.4.12.20)
\frac{\det(A_\alpha + B_\beta)}{\det(A + B)}
- \frac{\det A_\alpha}{\det A}
- \frac{\det B_\beta}{\det B} \\
= x^* A^{-1} x + y^* B^{-1} y - (x + y)^* (A + B)^{-1} (x + y).
(c) \( \alpha, \beta \) を十分に大きな正の実数とすると、\( A_\alpha \) および \( B_\beta \) は正定値である。このとき、式 (7.4.12.20) を用いることで、(7.4.12.19) が次のBerenstein–Veinstein不等式を意味することを示せ：
(7.4.12.21)
x^* A^{-1} x + y^* B^{-1} y
\ge (x + y)^* (A + B)^{-1} (x + y)
(d) 式 (7.4.12.20) を用いて、(7.4.12.21) が (7.4.12.19) を導くことを示せ。これにより、Bergström不等式とBerenstein–Veinstein不等式が同値であることがわかる。
行列解析の総本山
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行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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