[行列解析7.4.P10]

7.4.問題10

\( x, y \in \mathbb{C}^n \) を零でないベクトルとし、\( A, B \in M_n \) を正定値行列とする。

(a) 次を示せ：

|x^* y|^2 \le (x^* A x)(y^* A^{-1} y),

等号は \( x = A^{-1} y \) のときに成立する。

(b) 関数 \( f(A, y) = (y^* A^{-1} y)^{-1} \) は次の変分表現をもつことを示せ：

f(A, y) = \min_{x^* y \ne 0} \frac{x^* A x}{|x^* y|^2}

(d) \( y = e_i \)（第 \( i \) 成分が1で他が0の標準基底ベクトル）とすると、次が成り立つ：

\gamma_{ii}^{-1} \ge \alpha_{ii}^{-1} + \beta_{ii}^{-1},

ここで、\((A + B)^{-1} = [\gamma_{ij}], \, A^{-1} = [\alpha_{ij}], \, B^{-1} = [\beta_{ij}]\) である。これはバーグストロームの不等式と呼ばれる。

(e) バーグストローム不等式は次の形でも表すことができる：

(4.7.12.19)

\frac{\det(A + B)}{\det(A + B)[\{i\}^c]} \ge \frac{\det A}{\det A[\{i\}^c]} + \frac{\det B}{\det B[\{i\}^c]} \\ i = 1, \ldots, n

ここで、分母の行列式はそれぞれ主対角成分に対応する余因子を表す。