7.4.問題1
7.4.P1
スカラー・カントロヴィッチ不等式の導出
\( 0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_n \)、かつ \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \) が非負で \(\alpha_1 + \cdots + \alpha_n = 1\) であると仮定する。ここで、 \( A = (\lambda_1 + \lambda_n)/2 \)、および \( G = \sqrt{\lambda_1 \lambda_n} \) とする（これはそれぞれ \(\lambda_1\) と \(\lambda_n\) の算術平均および幾何平均である）。
このとき、次のスカラー・カントロヴィッチ不等式を、式 (7.4.12.1) から導け。
(7.4.12.10)
\left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \lambda_i \right)
\left( \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \lambda_i^{-1} \right)
\le \frac{A^2}{G^2}
(7.4.12.1)
(x^* A x)(x^* A^{-1} x) \le \frac{(\lambda_1 + \lambda_n)^2}{4 \lambda_1 \lambda_n} \, \|x\|_4^2
\quad \text{for all } x \in \mathbb{C}^n
行列解析の総本山
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2025.08.05
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