[行列解析7.4.9.3]系：Mirsky の結果

7.4.9.3 系（Mirsky の結果）

A, B ∈ M_n をエルミート行列とし、\(\| \cdot \|\) を M_n 上のユニタリ不変ノルムとする。このとき次が成り立つ。

\|\text{diag}\,\lambda_\downarrow(A) - \text{diag}\,\lambda_\downarrow(B)\| \le \|A - B\|

証明. \(\mu \in [0,\infty)\) を選び、\(A + \mu I\) および \(B + \mu I\) がともに半正定値となるようにする。すると

\Sigma(A + \mu I) = \text{diag}\,\lambda_\downarrow(A + \mu I) = \text{diag}\,\lambda_\downarrow(A) + \mu I

および

\Sigma(B + \mu I) = \text{diag}\,\lambda_\downarrow(B) + \mu I

であり、定理 7.4.9.1 により次が保証される。

\|\text{diag}\,\lambda_\downarrow(A) - \text{diag}\,\lambda_\downarrow(B)\| = \|\bigl(\Sigma(A + \mu I) - \mu I\bigr) - \bigl(\Sigma(B + \mu I) - \mu I\bigr)\| = \|\Sigma(A + \mu I) - \Sigma(B + \mu I)\| \le \|(A + \mu I) - (B + \mu I)\| = \|A - B\|

演習. A, E ∈ M_n をエルミート行列とする。どのユニタリ不変ノルムに対して、式 (6.3.4) および (6.3.8) の境界値が前述の系の結果から導かれるかを考察せよ。