[行列解析7.4.7]ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数

7.4.7 ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数（Unitarily Invariant Norms and Symmetric Gauge Functions）
行列解析の総本山

7.4.7 ユニタリ不変ノルムと対称ゲージ関数（Unitarily Invariant Norms and Symmetric Gauge Functions）

\( A \in M_{m,n} \) とし、\( A = V \Sigma W^* \) を特異値分解とする。ノルム \( \| \cdot \| \) がユニタリ不変ノルムであるとき、 \( \|A\| = \|V \Sigma W^*\| = \|\Sigma\| \) が成り立つ。したがって、行列のユニタリ不変ノルムは、その行列の特異値のみに依存する。この依存の性質について考察する。

\( X = [x_{ij}], Y = [y_{ij}] \in M_{m,n} \) が対角行列であり、その対角成分がそれぞれ \( x_{ii} = x_i \)、\( y_{ii} = y_i \)（\( i = 1, \ldots, q \)）であるとする。このとき、\( x = [x_i], y = [y_i] \in \mathbb{C}^q \) とおく。

\( X^*X \) は対角行列であり、その対角成分は \( |x_1|^2, \ldots, |x_q|^2 \)（もし \( q \lt n \) ならば追加で \( n - q \) 個のゼロ成分を持つ）である。したがって、\( X \) の特異値は（必ずしも降順ではないが）\( |x_1|, \ldots, |x_q| \) である。

関数 \( g : \mathbb{C}^q \to \mathbb{R}^+ \) を次のように定義する。

g(x) = g([x_1, \ldots, x_q]^T) = \|X\|

関数 \( g \) はノルム \( \| \cdot \| \) から次の性質を受け継ぐ。

(a) 任意の \( x \in \mathbb{C}^q \) に対して \( g(x) \ge 0 \) である。なぜなら、\( \|X\| \) は常に非負だからである。

(b) \( g(x) = 0 \) となるのは、かつて \( x = 0 \) のとき、かつそのときに限る。なぜなら、\( \|X\| = 0 \) であるのは \( X = 0 \) のときに限られるからである。

(c) 任意の \( x \in \mathbb{C}^q \) および \( \alpha \in \mathbb{C} \) に対して \( g(\alpha x) = |\alpha| g(x) \) が成り立つ。これは、すべての \( \alpha \in \mathbb{C} \)、\( X \in M_{m,n} \) に対して \( \|\alpha X\| = |\alpha| \|X\| \) だからである。

(d) 任意の \( x, y \in \mathbb{C}^q \) に対して \( g(x + y) \le g(x) + g(y) \) が成り立つ。これは、すべての \( X, Y \in M_{m,n} \) に対して \( \|X + Y\| \le \|X\| + \|Y\| \) が成り立つことによる。

これら4つの性質により、\( g \) は \( \mathbb{C}^q \) 上のノルムであることがわかる。さらに、次の2つの追加的な性質をもつ。

(e) \( g \) は \( \mathbb{C}^q \) 上の「絶対ノルム（absolute norm）」である。なぜなら、ベクトル \( x = [x_i] \) および \( |x| = [|x_i|] \) に対応する行列 \( X \) および \( |X| \) は同じ特異値 \( |x_1|, \ldots, |x_q| \) をもつからである。

(f) 任意の置換行列 \( P \in M_q \) に対して \( g(Px) = g(x) \) が成り立つ。これはノルム \( \| \cdot \| \) がユニタリ不変であるためである。たとえば、\( q = m \le n \) のとき、