7.4.11.1 絶対ユニタリ不変ノルムの特徴付け
定理 7.4.11.1. \( M_{m,n} \) 上のユニタリ不変ノルムを \( \lVert \cdot \rVert \) とする。このとき、\( \lVert \cdot \rVert \) が絶対ノルムであることと、それがフロベニウスノルムの正の定数倍であることは同値である。
証明： 便宜のため、\( E_{11} \in M_{m,n} \) を、(1,1)成分が1でその他の成分が0の行列とし、ノルムが \( \lVert E_{11} \rVert = 1 \) となるように正規化された場合を考える。 \( q = \min\{m, n\} \) とし、与えられた \( A \in M_{m,n} \) の特異値を \( \sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_q \) とする。
ここで次を主張する：
\lVert A \rVert = \lVert A \rVert_2 = (\sigma_1^2 + \cdots + \sigma_q^2)^{1/2}
もし \(\operatorname{rank} A = 1\) ならば、 \(\lVert A \rVert = \lVert \sigma_1 E_{11} \rVert = \sigma_1 \lVert E_{11} \rVert = \sigma_1 = \lVert A \rVert_2\) である。
次に、\(\operatorname{rank} A = 2\) の場合を考える。次のように定義する：
A_{\pm} =
\begin{bmatrix}
B_{\pm} & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\in M_{m,n},
\quad
B_{\pm} =
\begin{bmatrix}
a & b \\
b & \pm c
\end{bmatrix}
ここで、
a = \tfrac{1}{2}(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_1 - \sigma_2), \quad
b = \tfrac{\sqrt{\sigma_1 \sigma_2}}{2}, \quad
c = \tfrac{1}{2}(\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - \sigma_1 + \sigma_2)
前節の演習より、\( A_- \) の特異値は \(\sigma_1, \sigma_2\) および \(q - 2\) 個の零であり、 \( A_+ \) の特異値は \(\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}\) および \(q - 1\) 個の零である。 後者の場合、\(\operatorname{rank} A_+ = 1\) なので、
\lVert A_+ \rVert = \lVert A_+ \rVert_2 = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} = \lVert A \rVert_2
また、\( A \) と \( A_- \) は同じ特異値をもつので、ユニタリ不変性より \(\lVert A \rVert = \lVert A_- \rVert\) が成り立つ。 さらに、絶対ノルムの仮定より \(\lVert A_- \rVert = \lVert A_+ \rVert\) である。 したがって、
\lVert A \rVert = \lVert A_- \rVert = \lVert A_+ \rVert = \lVert A \rVert_2
次に、\( \operatorname{rank} A = r \ge 3 \) の場合について数学的帰納法を用いる。 すなわち、ランクが \(r - 1\) 以下のすべての \(X \in M_n\) について \(\lVert X \rVert = \lVert X \rVert_2\) が成り立つと仮定する。
次のように定義する：
A_{\pm} =
\begin{bmatrix}
B_{\pm} & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\in M_{m,n},
\quad
B_{\pm} =
\begin{bmatrix}
a & b \\
b & \pm c
\end{bmatrix}
\oplus \operatorname{diag}(\sigma_2, \ldots, \sigma_{r-1})
ここで、
a = \tfrac{1}{2}(\sigma_1^2 + \sigma_r^2 + \sigma_1 - \sigma_r), \quad
b = \tfrac{\sqrt{\sigma_1 \sigma_r}}{2}, \quad
c = \tfrac{1}{2}(\sigma_1^2 + \sigma_r^2 - \sigma_1 + \sigma_r)
演習の結果より、\( A_- \) の特異値は \(\sigma_1, \ldots, \sigma_r\) および \(q - r\) 個の零であり、 \( A_+ \) の特異値は \(\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_r^2}, \sigma_2, \ldots, \sigma_{r-1}\) および \(q - r + 1\) 個の零である。
帰納法の仮定より \(\lVert A_+ \rVert = \lVert A_+ \rVert_2 = \lVert A \rVert_2\) が成り立つ。 ランク2の場合と同様に、ユニタリ不変性と絶対性の仮定から、
\lVert A \rVert = \lVert A_- \rVert = \lVert A_+ \rVert = \lVert A \rVert_2
したがって、もし \( \lVert \cdot \rVert \) が正規化されていない場合でも、 \(\lVert \cdot \rVert / \lVert E_{11} \rVert = \lVert \cdot \rVert_2\)、すなわち
\lVert A \rVert = \lVert E_{11} \rVert \, \lVert A \rVert_2 \quad (\forall A \in M_{m,n})
が成り立つ。
演習
上の定理を用いて、\( n \ge 2 \) のときスペクトルノルムが絶対ノルムではないことを概念的に証明せよ。 （式 (5.6.P40) と比較せよ。）
行列解析の総本山
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