7.4.1.1 フォン・ノイマンの定理（von Neumann’s trace theorem）
定理 7.4.1.1（フォン・ノイマン）
次の条件を満たすとする。\( A, B \in M_{m,n} \)、また \( q = \min\{m, n\} \) とし、\( A \) と \( B \) の特異値をそれぞれ非増加順に \( \sigma_1(A) \ge \cdots \ge \sigma_q(A) \)、\( \sigma_1(B) \ge \cdots \ge \sigma_q(B) \) とする。このとき次の不等式が成り立つ。
\mathrm{Re}\, \mathrm{tr}(AB^{*}) \le \sum_{i=1}^{q} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
証明
まず \( m = n \) の場合を考える。
このとき、上の不等式はまさに (8.7.6) 式の主張と一致する。
次に \( m \gt n \) の場合を考える。行列 \( A \) と \( B \) に零のブロックを付加して正方行列を構成する。すなわち \( A = [A \; 0] \)、\( B = [B \; 0] \in M_m \) と定義する。このとき \( AB^{*} = A B^{*} \) であるから、(8.7.6) 式より次が従う。
\mathrm{Re}\, \mathrm{tr}(AB^{*}) = \mathrm{Re}\, \mathrm{tr}(A B^{*})
\le \sum_{i=1}^{m} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
= \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
最後に \( m \lt n \) の場合を考える。このとき
A = \begin{pmatrix} A \\ 0 \end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix} B \\ 0 \end{pmatrix} \in M_n
と定義する。このとき
AB^{*} =
\begin{pmatrix}
AB^{*} & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
となるので、再び (8.7.6) 式を適用すると、
\mathrm{Re}\, \mathrm{tr}(AB^{*}) = \mathrm{Re}\, \mathrm{tr}(A B^{*})
\le \sum_{i=1}^{n} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
= \sum_{i=1}^{m} \sigma_i(A)\sigma_i(B)
したがって、いずれの場合においても主張の不等式が成り立つ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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