[行列解析7.4]極分解と特異値分解の結果

7.4 極分解と特異値分解の結果

極分解および特異値分解は、多くの興味深い行列解析の問題に現れる。本節では、そのいくつかの応用例を紹介する。さらに多くの例は問題セクションで提示される。

この節を通して、もし \( X \in M_{m,n} \) であれば、\( q = \min\{m, n\} \) とし、特異値を大きい順に並べて

\sigma_1(X) \ge \sigma_2(X) \ge \cdots \ge \sigma_q(X)

と表すものとする。また、行列 \( \Sigma(X) = [s_{ij}] \) を次のように定める。

s_{ii} = \sigma_i(X) \quad (i = 1, \ldots, q)

すなわち、\( \Sigma(X) \) は \( m \times n \) の対角行列であり、各対角成分が対応する特異値 \( \sigma_i(X) \) である。