7.3.問題18
7.3.P18
不等式 (7.3.17) の場合 k = n は、既存の道具を用いて、積の不等式 (7.3.16) に頼らずに扱うことができる。前問の表記を採用して詳細を示せ。
(a) \( A = U T U^{*} \) とし、ここで \( T = [t_{ij}] \) は上三角行列で各 \( t_{ii} = \lambda_i \) とする。このとき、対角ユニタリ行列 \( D = \mathrm{diag}(d_1, \dots, d_n) \) が存在して各 \( d_i t_{ii} = |\lambda_i| \) となる理由を説明せよ。
(b) \( D T = V \Sigma W^{*} \) とし、ここで \( V = [v_1, \dots, v_n] \)、\( W = [w_1, \dots, w_n] \) はユニタリ、\( \Sigma = \mathrm{diag}(s_1, \dots, s_n) \)、かつ \( s_1 \ge \dots \ge s_n \ge 0 \) とする。なぜ各 \( s_j = \sigma_j \) となるのか説明せよ。
(c) 以下の関係を説明せよ：
\sum_j |\lambda_j| = \mathrm{tr}(D T) = \mathrm{tr}\Big(\sum_j \sigma_j v_j w_j^*\Big) = \Big|\sum_j \sigma_j w_j^* v_j\Big| \le \sum_j \sigma_j,
等号成立は、各 \( j \) に対して \( \sigma_j \neq 0 \) のとき \( w_j = e^{i \theta_j} v_j \) である場合に限られる。
(d) これにより、対角ユニタリ行列 \( E \) が存在して \( V \Sigma W^{*} = V \Sigma E V^{*} \) となることが従う。
(e) \( D T \) が正規行列である理由を説明せよ。結論として、\( T \) は対角行列であり、\( A \) は正規行列である。
(f) これにより次の不等式が成立する：
|\lambda_1| + \dots + |\lambda_n| \le \sigma_1 + \dots + \sigma_n
等号成立は、かつて \( A \) が正規行列である場合に限られる。
(g) 次の不等式も成立する：
| \mathrm{tr} A | \le \sigma_1 + \dots + \sigma_n
等号成立は、かつて \( A \) がエルミートかつ半正定値である場合に限られる。
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