7.3.11定理：同じ自己随伴積をもつ行列の関係
\( n, p, q \) を正の整数とし、\( p \le q \) とする。 \( A \in M_{p,n} \)、\( B \in M_{q,n} \) とする。 このとき、次の条件は同値である。
(1) \( A^{*}A = B^{*}B \)
(2) 直交正規な列をもつ \( V \in M_{q,p} \) が存在して、 \( B = V A \) が成り立つ。
さらに、もし \( A \) と \( B \) が実行列であるなら、\( V \) も実行列としてとることができる。
（証明）まず、もし \( B = V A \) ならば、
B^{*}B = A^{*}V^{*}V A = A^{*}A
が成り立つ。 逆に、もし \( A^{*}A = B^{*}B \) ならば、式 (7.3.2) の表記を用いると次のように書ける：
A = V_{1}\Sigma W_{1}^{*}, \quad
B = V_{2}\Sigma W_{1}^{*}
ここで、\( V_{1} \in M_{p,r} \)、\( V_{2} \in M_{q,r} \) は直交正規な列をもつ行列である。 \( p \lt q \) の場合、次のように拡張行列を定義する：
\hat{V}_{1} =
\begin{bmatrix}
V_{1} \\
0
\end{bmatrix}
\in M_{q,r}
（もし \( p = q \) なら拡張は不要である）。 このとき \( \hat{V}_{1} \) も直交正規な列をもつので、式 (2.1.18) によりユニタリ行列 \( U \in M_q \) が存在し、 次が成り立つ：
V_{2} = U \hat{V}_{1}
\( U = [V \; Z] \) と分割し、\( V \in M_{q,r} \) とおくと、
V_{2} = U \hat{V}_{1}
= [V \; Z]
\begin{bmatrix}
V_{1} \\
0
\end{bmatrix}
= V V_{1}
したがって、
B = V_{2} \Sigma W_{1}^{*}
= V V_{1} \Sigma W_{1}^{*}
= V A
が得られる。 また、もし \( A \) および \( B \) が実行列であるなら、式 (7.3.2) と (2.1.18) から \( W_{1}, V_{1}, U \) も実行列としてとることができる。
（補足）この定理の典型的な応用として、特定の構造をもつ行列 \( X \) が与えられた場合に、 半正定値行列の性質を用いて \( X^{*}X = Y^{*}Y \) と因数分解し、 特定の形をもつ \( Y \) を得るという手法がある。 もし次元が適切に対応していれば、直交正規な列をもつ行列 \( V \) が存在して \( X = VY \) が成り立つことが結論される（例として式 (7.3.P34) を参照）。
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