目次
- 7.3.1 定理：行列の極分解
- 7.3.2 定理（薄い特異値分解と標準特異値分解）
- 7.3.3 定理：特異値とエルミート行列の固有値の関係
- 7.3.5 系：特異値の摂動不等式
- 7.3.6 補題：行または列を削除した行列の特異値の交錯
- 7.3.8 定理：特異値の最小最大表現（Courant–Fischer型定理）
- 7.3.11 定理：同じ自己随伴積をもつ行列の関係
- 7.3 問題集
極分解と特異値分解
複素数 \( z \) は、常に次のように因数分解できる： \( z = re^{i\theta} \)。
ここで、\( r \) は実数かつ非負であり（1×1の半正定値行列とみなすこともできる）、\( e^{i\theta} \) は絶対値が1である（1×1のユニタリ行列とみなすこともできる）。
このとき、\( r = |z| \) の値は常に一意に定まるが、\( e^{i\theta} \) の値は \( z \neq 0 \) の場合にのみ一意に決まる。
極分解（polar decomposition）は、このスカラーの因数分解を行列に拡張したものであり、特異値分解（singular value decomposition）の直接的な結果として得られる。
行列解析の総本山
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[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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