[行列解析7.2.P5]

7.2.問題5

(a) 次の行列

L_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & \sqrt{3} \end{bmatrix}

が、正定値行列

A_1 = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

のコレスキー分解 (7.2.9) を与えることを確かめよ。また、

4 \cdot 4 \ge 2^{2} \cdot (\sqrt{3})^{2} = \det A_1

が成り立つことを示せ。

(b) \( A = [a_{ij}] \in M_n \) を正定値行列とし、\( A = L L^{*} \) をコレスキー分解とする。ここで \( L = [c_{ij}] \) とし、\( j \gt i \) のとき \( c_{ij} = 0 \) とする。次を示せ：

\det A = c_{11}^{2} \cdot c_{22}^{2} \cdots c_{nn}^{2}

また各 \( a_{ii} \) について次が成り立つことを示せ：

a_{ii} = |c_{i1}|^{2} + |c_{i2}|^{2} + \cdots + |c_{i,i-1}|^{2} + c_{ii}^{2} \ge c_{ii}^{2}

等号が成り立つのは、各 \( k = 1, \ldots, i - 1 \) に対して \( c_{ik} = 0 \) のとき、かつそのときに限る。これをもとに、ハダマードの不等式

\det A \le a_{11} \cdot a_{22} \cdots a_{nn}

を導け。等号が成り立つのは \( A \) が対角行列のとき、かつそのときに限る。