7.2.問題36
7.2.P36
関数 \(\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot) : M_n \times M_n \to \mathbb{C}\) をウィグナー・ヤナゼ相関として
\mathrm{Corr}_R(X, Y) = \mathrm{tr}(RXY^*) - \mathrm{tr}(R^{1/2} X R^{1/2} Y^*)
と定義する。また、ウィグナー・ヤナゼの歪情報を
I_R(X) = \mathrm{Corr}_R(X, X) = \mathrm{tr}(RXX^*) - \mathrm{tr}((R^{1/2} X)^2)
(a) \( I_R(X) \) は実数である。
(b) 次が成り立つ：
\mathrm{Corr}_R(X, Y) = \langle R^{1/2} X, R^{1/2} Y \rangle_F - \langle R^{1/2} X, R^{1/2} \rangle_F \langle R^{1/2}, R^{1/2} Y \rangle_F
(c) \(\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot)\) は半線形形式であり、複素ベクトル空間 \( M_n \) 上の半内積ではない。全ての \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) に対して \(\mathrm{Corr}_R(\lambda I, \mu I) = 0\)、\(\mathrm{Corr}_R(X - \lambda I, Y - \mu I) = \mathrm{Corr}_R(X, Y)\) が成り立つ。
(d) \( X \in M_n \) が正規行列なら \( I_R(X) \ge 0 \) である。rank R = 1 の場合、\(\mathrm{Corr}_R(X, Y) = \mathrm{Cov}_R(X, Y)\) となる（7.2.P34(a) を参照）。
(e) \( A, B \in M_n \) がエルミートの場合、\( I_R(A) \) は実数かつ非負であり、密度行列 R に対する観測量 A の情報量の尺度と解釈される。
(f) \( H_n = \{A \in M_n : A = A^*\} \) は実ベクトル空間である。
(g) \(\mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot)\) は \( H_n \) 上の双線形形式であり、\(\mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(A, A) \ge 0\) であるため、\( H_n \) 上の半内積となる。
(h) \( H_n = \{ A \in M_n : A = A^* \} \) が実ベクトル空間である理由を説明せよ。
(i) \( \mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot) \) が実ベクトル空間 \( H_n \) 上の双線形形式（bilinear function）であり、さらに \( \mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(A, A) \ge 0 \) が成り立つことを説明せよ。したがって、\( \mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(\cdot, \cdot) \) は \( H_n \) 上の半内積（semi-inner product）である。
(j) 次の等式を示せ：
I_R(A) = \mathrm{tr}(R A^2) - \mathrm{tr}((R^{1/2} A)^2)
= -\frac{1}{2} \mathrm{tr}([R^{1/2}, A]^2)
\quad \text{(7.2.15)}
\mathrm{Re}\,\mathrm{Corr}_R(A, B)
= \frac{1}{2}\bigl(\mathrm{Corr}_R(A, B) + \mathrm{Corr}_R(B, A)\bigr)
= \frac{1}{4}\bigl(I_R(A + B) - I_R(A - B)\bigr)
\quad \text{(7.2.16)}
\mathrm{Im}\,\mathrm{Corr}_R(A, B)
= \frac{1}{2i}\bigl(\mathrm{Corr}_R(A, B) - \mathrm{Corr}_R(B, A)\bigr)
= \frac{1}{2i}\,\mathrm{tr}(R[A, B])
= \mathrm{Im}\,\mathrm{Cov}_R(A, B)
\quad \text{(7.2.17)}
(k) コーシー・シュワルツ不等式を用いて、次の不等式を示す：
I_R(A) I_R(B) \ge \frac{1}{4} (\mathrm{Corr}_R(A, B) + \mathrm{Corr}_R(B, A))^2
= \frac{1}{16} (I_R(A+B) - I_R(A-B))^2
(l) 関数 \(f : M_m \times M_n \to \mathbb{C}\) を次のように定義する：
f(X, Y) = \mathrm{tr}(R^{1/2} X R^{1/2} Y^*)
このとき、\(f\) が半線形形式（sesquilinear form）であり、さらに \(f(X, X) \ge 0\) が成り立つことを示せ。
(m) 次の関係が成り立つ理由を説明せよ：
|f(X, I)|^2 \le f(X, X) f(I, I) = f(X, X)
したがって、全ての \(X \in M_n\) に対して次が従う：
|\mathrm{tr}(R X)|^2 \le \mathrm{tr}(R^{1/2} X R^{1/2} X^*)
(n) 次の不等式が成り立つ理由を説明せよ：
(\mathrm{tr}(RA))^2 \le \mathrm{tr}((R^{1/2} A)^2)
これにより、任意の観測量 \(A\) に対して歪情報は分散を超えないことが従う：
I_R(A) \le \mathrm{Var}_R(A)
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