7.2.問題34
7.2.P34
\( R \in M_n \) をエルミートかつ半正定値で \(\mathrm{tr} R = 1\)（密度行列）とする。関数 \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot) : M_n \times M_n \to \mathbb{C}\) を
\mathrm{Cov}_R(X, Y) = \mathrm{tr}(R X Y^*) - (\mathrm{tr}(R X)) (\mathrm{tr}(R Y^*))
と定義する（状態 R における X と Y の共分散）。
(a) なぜ \(\| R^{1/2} \|_F^2 = 1\)（フロベニウスノルム）であり、\(\mathrm{rank} R = 1\) の場合のみ \( R^{1/2} = R \) が成り立ち、これはあるユークリッド単位ベクトル u に対して \( R = u u^* \) となるか説明せよ。rank R = 1 のとき量子系は純状態、rank R > 1 のとき混合状態である。さらに \(\mathrm{tr}(R X)\) は状態 R における X の平均（期待値）と解釈される。
(b) 次を示せ：
\mathrm{Cov}_R(X, Y) = \langle R^{1/2} X, R^{1/2} Y \rangle_F - \langle R^{1/2} X, R^{1/2} \rangle_F \langle R^{1/2}, R^{1/2} Y \rangle_F
(c) \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot)\) は半線形であり、\(\mathrm{Cov}_R(X, X) \ge 0\) である。従って \(\mathrm{Cov}_R(\cdot, \cdot)\) は複素ベクトル空間 \( M_n \) 上の半内積である。全ての \(\lambda, \mu \in \mathbb{C}\) に対して \(\mathrm{Cov}_R(\lambda I, \mu I) = 0\)、\(\mathrm{Cov}_R(X - \lambda I, Y - \mu I) = \mathrm{Cov}_R(X, Y)\) である。
(d) \(\mathrm{Var}_R(X) = \mathrm{Cov}_R(X, X)\)（状態 R における X の分散）と定義する。次を示せ：
\mathrm{Var}_R(X) = \mathrm{tr}(R X X^*) - |\mathrm{tr}(R X)|^2
この分散は、状態 R における \( XX^* \) の平均から X の平均の絶対値二乗を引いたものである。
(e) コーシー・シュワルツ不等式 (5.1.8) を用いて、
\(\mathrm{Var}_R(X) \mathrm{Var}_R(Y) \ge |\mathrm{Cov}_R(X, Y)|^2\)（7.2.12）を確認せよ。
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