[行列解析7.2.P32]

7.2.問題32
- 7.2.P32　
行列解析の総本山

7.2.問題32

7.2.P32　

\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) を \(\mathbb{C}^n\) 上の内積とし、標準直交正規基底 \( B = \{ e_1, \dots, e_n \} \) に対する Gram 行列を \( G \in M_n \) とする。

全ての \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して

\langle x, y \rangle = y^* G x

が成り立つ。したがって、関数
\(\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}\) が内積であることと、ある正定値行列 \( G \) が存在して全ての \( x, y \) に対して \(\langle x, y \rangle = y^* G x\) が成り立つことは同値である。