7.2.問題25
7.2.P25
\( A \in M_n \) を半正定値とし、\( n = k m \) とする。
\(A\) を \(m×m\) ブロックからなる \(k×k\) ブロック行列として分割し、各ブロックを \( A_{ij} \) とする。\( C_p(A_{ij}) \) を p 次複合行列（0.8.1 参照）、\( \mathrm{tr} C_p(A_{ij}) = E_p(A_{ij}) \)（2.3.P12 参照）とする。
次の圧縮行列は全て半正定値であることを示す：
\begin{align}
& T = [tr A_{ij}]_{i,j=1}^k ∈ M_k, \notag \\
& C_p = [C_p(A_{ij})]_{i,j=1}^k ∈ M_k, \notag \\
& E_p = [E_p(A_{ij})]_{i,j=1}^k, \notag \\
& D = [det A_{ij}]_{i,j=1}^k \notag
\end{align}(a) \( A = B^* B \) とし、B を m×m ブロック \( B_j \) に分割する。
(b) \( T = [\mathrm{tr}(B_i^* B_j)]_{i,j=1}^k \) が Gram 行列であることを示し、半正定値であることを結論せよ。
(c) p 次複合行列の積性を用いて、\( C_p = [C_p(B_i^* B_j)]_{i,j=1}^k = [C_p(B_i)^* C_p(B_j)]_{i,j=1}^k \) が Gram 行列であり、半正定値であることを示せ。
(d) (b) と (c) の結果から \( E_p \) が半正定値であることを示せ。
(e) \( D = E_m \) であり、従って半正定値であることを結論せよ。
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