7.2.問題22
7.2.P22
\( A, G, H \in M_n \) を正定値とし、\( G A G = H A H \) が成り立つとする。このとき \( G = H \) であることを示せ。
(a) \( X = A^{1/2} G \) および \( Y = A^{1/2} H \) と置くと、\( X^* X = Y^* Y \) となる。
(b) \((Y X^{-1})^{-1} = (Y X^{-1})^*\) なので、\( Y X^{-1} = A^{1/2} G H^{-1} A^{-1/2} \) はユニタリである。
(c) \( G H^{-1} \) の固有値は全て絶対値 1 である。
(d) \( G H^{-1} \) は対角化可能で、固有値は全て正である。
(e) よって \( G H^{-1} \) の固有値は全て +1 であり、\( G H^{-1} = I \) すなわち \( G = H \) である。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
am-gm.com
2025.08.05
コメント