7.2.問題21
7.2.P21
\( A, B \in M_n \) を半正定値行列とする。
(a) \( A \) と \( B \) が可換なら、\( AB \) はエルミートで半正定値であることを示せ。
(b) \( AB \) がエルミートとは限らないことを示す例を挙げよ。
(c) (1.3.22) を用いて、\( AB \) と \( A^{1/2} B A^{1/2} \) が同じ固有値を持ち、後者の行列は実数かつ非負の固有値を持つ理由を説明せよ。この理由だけでは \( AB \) が対角化可能であるとは言えないことを説明せよ。ただし、(7.6.2b) を参照。
(d) \( A \) が正定値の場合、\( AB \) が \( A^{1/2} B A^{1/2} \) に相似であり、これが非負の対角行列に相似である理由を説明せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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