[行列解析7.2.P15]

7.2.問題15
- 7.2.P15　
行列解析の総本山

7.2.問題15

7.2.P15　

\( A \in M_n \) を半正定値とし、固有値を \(\mu_1 \le \cdots \le \mu_n\) とする。\( z \in \mathbb{C}^n \) は 0 でないベクトルとする。
(a) 恒等式を確認せよ：

A + z z^* = \begin{bmatrix} A^{1/2} \\ z^* \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{1/2} & z \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} A^{1/2} & z \\ z^* & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & A^{1/2} z \\ z^* A^{1/2} & z^* z \end{bmatrix}

後者の行列を \( B \) とし、固有値を \(\lambda_1 \le \lambda_2 \le … \le \lambda_n \le \lambda_{n+1}\) とする。
(b) (1.3.22) から、\(\lambda_2 \le … \le \lambda_n \le \lambda_{n+1}\) が \( A + z z^* \) の固有値であり、\(\lambda_1 = 0\) であることを導け。
(c) (4.3.9) および (4.3.17) により、交互不等式 \(\lambda_1 \le \mu_1 \le \lambda_2 \le \mu_2 \le … \le \mu_{n-1} \le \lambda_n \le \mu_n \le \lambda_{n+1}\) が成り立つ理由を説明せよ。