7.2.5定理（シルベスターの判定法）
\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。このとき、次のことが成り立つ。
(a) もし \( A \) のすべての主小行列式（\(\det A\) を含む）が非負であるならば、\( A \) は半正定値である。
(b) もし \( A \) のすべての前方（または後方）主小行列式（\(\det A\) を含む）が正であるならば、\( A \) は正定値である。
(c) もし \( A \) の最初の \( n - 1 \) 個の前方（または最後の \( n - 1 \) 個の後方）主小行列式が正であり、かつ \(\det A \ge 0\) であるならば、\( A \) は半正定値である。
証明
(a) \( r = \mathrm{rank}\,A \) とする。もし \( r = 0 \) ならば証明すべきことはない。したがって \( r \ge 1 \) と仮定する。 仮定より、各 \( k = 1, \ldots, n \) に対して、\( E_k(A) \)（サイズ \( k \) のすべての主小行列式の和）は非負である。
すべてのエルミート行列は「ランク主行列」である（定理 0.7.6）ので、\( A \) には非特異な \( r \times r \) の主小行列が存在する。 したがって \( E_r(A) \gt 0 \) である。もし \( k \gt r \) ならば、サイズ \( k \) の小行列式はすべて 0 であるから \( E_k = 0 \) である。
行列 \( A \) の特性多項式の表現（式 (1.2.13)）は次のようになる。
p_A(t) = t^{n-r}\,(t^r - E_1 t^{r-1} + \cdots + (-1)^{r-1}E_{r-1} t + (-1)^r E_r)
ここで \( E_r \gt 0 \) であり、仮定から各 \( E_k \)（\( k = 1, \ldots, r-1 \)）は非負である。 このとき、多項式 \( p(t) / t^{n-r} \) の係数の符号のパターンは、この多項式が区間 \((-\infty, 0]\) に零点を持たないことを保証する。 したがって、すべての零点は正であり、行列 \( A \) の固有値はすべて非負である。ゆえに \( A \) は半正定値である。
(b) \( A_k \) を \( k = 1, \ldots, n \) に対して前方主小行列 \( A[\{1, \ldots, k\}] \) とする。 もし \(\det A_1 \gt 0\) ならば、\( A_1 \) は正定値である。 いま \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とし、\( A_k \) が正定値であると仮定する。 このとき、そのすべての固有値は正である。
相互挟み込みの不等式（式 (4.3.18)）により、\( A_{k+1} \) の固有値は最小のものを除いてすべて正である。 さらに、\( A_{k+1} \) の固有値の積は \(\det A_{k+1}\) であり、これは正なので、最小固有値も正であることがわかる。 したがって \( A_{k+1} \) は正定値であり、帰納法により \( A_n = A \) は正定値である。
後方主小行列についての主張は、前方主小行列についての結果と、\( A \) の適切な置換による相似変換から導かれる。
(c) 仮定と (b) の相互挟み込みの議論により、\( A \) は少なくとも \( n - 1 \) 個の正の固有値をもつ。 もし \(\det A = 0\) であれば、残りの固有値は 0 であるため、\( A \) は半正定値である。
練習問題
次のエルミート行列
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}
の前方主小行列式は非負であるが、この行列は半正定値ではない。 これはどのような理由によるのだろうか。このことは前述の定理に矛盾するだろうか。
すべての正の実数は、各 \( k = 1, 2, \ldots \) に対して一意の正の \( k \) 乗根をもつ。 正定値行列もこれに対応する性質をもつ。
行列解析の総本山
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