[行列解析7.1.P27]

7.1.問題27
- 問題 7.1.P27
行列解析の総本山

7.1.問題27

問題 7.1.P27

\( A, B \in M_n \) が半正定値であり、部分集合 \( \alpha \subset \{1,\dots,n\} \) を考える。

(a) なぜ各 k = 1,2,... に対して \(\mathrm{rank}\,A^k = \mathrm{rank}\,A\) であるかを説明せよ。

(b) 式 (7.1.10) を用いて、\(\mathrm{rank}(AB)[\alpha] \le \min\{\mathrm{rank}A[\alpha], \mathrm{rank}B[\alpha]\}\) および \(\mathrm{rank}A^2[\alpha] = \mathrm{rank}A[\alpha]\) を示せ。

(c) これを用いて \(\mathrm{rank}A[\alpha] = \mathrm{rank}A^2[\alpha] = \mathrm{rank}A^4[\alpha] = \dots = \mathrm{rank}A^{2k}[\alpha] = \dots\) および任意の k ≥ 2 に対して \(\mathrm{rank}A[\alpha] = \mathrm{rank}A^k[\alpha]\) が成り立つことを示せ。