7.1.問題18
問題 7.1.P18
(a) \( 0 \lt \alpha_1 \lt \cdots \lt \alpha_n \) とし、
A = [\min\{\alpha_i, \alpha_j\}]_{i,j=1}^n
とおく。このとき次が成り立つことを示せ。
A = \alpha_1 J_n
+ (\alpha_2 - \alpha_1)(0_1 \oplus J_{n-1})
+ (\alpha_3 - \alpha_2)(0_2 \oplus J_{n-2})
+ \cdots
+ (\alpha_n - \alpha_{n-1})(0_{n-1} \oplus J_1)
この表現を用いて、\( A \) が正定値であることを証明せよ。
(b) \( \beta_1, \dots, \beta_n \) を任意の正の実数とし、順序づけや重複は必要ない。このとき、最小値行列 \([\min\{\beta_i, \beta_j\}]\) が半正定値であり、\( \beta_i \ne \beta_j \)（\( i \ne j \)）のときは正定値であることを説明せよ。
(c) 逆数の最大値行列 \([\max\{\beta_i, \beta_j\}^{-1}]\) が半正定値であり、\( \beta_i \ne \beta_j \)（\( i \ne j \)）のとき正定値であることを示せ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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