7.1.5 正定値・半正定値行列のトレース・行列式・主小行列式の性質
系 7.1.5. A ∈ Mn を半正定値（それぞれ正定値）行列とする。このとき、tr A、det A、および A の主小行列式はすべて非負（それぞれ正）である。また、tr A = 0 であるのは、かつその場合に限り A = 0 である。
証明
行列 A のトレースはその固有値の和であり、固有値はすべて非負（それぞれ正）である。もしその和が 0 であれば、各固有値は 0 であり、したがって対角化可能な行列 A は 0 である（参照：1.3.4）。行列式 det A は固有値の積であり、これもすべて非負である。主小行列式は主部分行列の行列式であるため、非負または正の因子の積となる（参照：7.1.2）。
演習. A ∈ Mn が負定値である場合、なぜ固有値とトレースが負になり、行列式 det A は n が奇数のとき負、偶数のとき正になるのか説明せよ。
演習. エルミート行列
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
を考える。x∗ A x = 0 となるが、Ax ≠ 0 となる非零ベクトルを示せ。次の結果は、この演習で示された現象が半正定値行列では起こり得ないことを示す。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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