7.1.12.半正定値なエルミート部分をもつ行列の包含性と階数条件
観察 7.1.12. \( A \in M_n \) が半正定値なエルミート部分 \( H(A) \) をもつとする。もし \( \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(H(A)) \) であるならば、行列 \( A \) は行および列の包含性（row and column inclusion properties）をもつ。
証明. (a) \( A \in M_n \) を次のように分割する。
A =
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\
A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix},
ここで \( A_{11} \in M_k \)、\( k \in \{1, \ldots, n - 1\} \) とする。\( H(A) \) が半正定値であることから、前の補題により \( A \)、\( A^* \)、および \( H(A) \) は同じ零空間をもつ。
もし \( A_{11} \) が非特異であれば証明すべきことはない。したがって \( A_{11} \) が特異であると仮定する。まず列の包含性（column inclusion property）を考える。 非零ベクトル \( \xi \in \mathbb{C}^k \) が \( \xi^* A_{11} = 0 \) を満たすと仮定する。このとき \( \xi^* A_{12} = 0 \) を示せばよい。
ベクトル
x =
\begin{bmatrix}
\xi \\
0
\end{bmatrix}
\in \mathbb{C}^n
とおく。このとき
0 = \xi^* A_{11} \xi = x^* A x = x^* H(A) x + i\, x^* K(A) x
が成り立つ。よって \( x^* H(A) x = 0 \) である。式 (7.1.6) により \( H(A)x = 0 \) が従う。 さらに、\( A^* \) と \( H(A) \) は同じ零空間をもつため、
0 = x^* A = \xi^* [\, A_{11} \; A_{12} \,]
= [\, \xi^* A_{11} \;\; \xi^* A_{12} \,]
= [\, 0 \;\; \xi^* A_{12} \,],
したがって \( \xi^* A_{12} = 0 \) が成り立つ。同様に、\( A \) と \( H(A) \) の零空間の等式を用いることで、\( A^* \) が列の包含性をもつことが示せる。したがって \( A \) は行の包含性ももつ。
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演習1. 上の観察で示した十分条件は必要条件ではない。次の行列を考える：
A =
\begin{bmatrix}
i & 0 \\
0 & -i
\end{bmatrix}.
このとき、\( A \) は行および列の包含性をともに満たすが、\(\operatorname{rank}(A) \gt \operatorname{rank}(H(A))\) である理由を説明せよ。
演習2. (7.1.10) が (7.1.12) から導かれることを説明せよ。
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