問題 7.1.P1
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であるとする。すべての異なる \( i, j \in \{1, \dots, n\} \) に対して、なぜ次が成り立つのかを説明せよ。
a_{ii} a_{jj} \ge |a_{ij}|^2
さらに、\( A \) が正定値である場合、なぜすべての異なる \( i, j \) に対して次が成り立つのかを説明せよ。
a_{ii} a_{jj} \gt |a_{ij}|^2
また、ある異なる \( i, j \) の組について \( a_{ii} a_{jj} = |a_{ij}|^2 \) が成立する場合、なぜ \( A \) が特異行列（singular）であるのかを説明せよ。
問題 7.1.P2
前問の結果を用いて、(7.1.10) の第2の主張を証明せよ。すなわち、半正定値行列の主対角要素の1つが 0 であることと、その要素が属する行および列全体が 0 であることは同値であることを示せ。
問題 7.1.P3
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が半正定値であり、かつすべての主対角要素が正であるとする。このとき、次で定義される行列
\left[ \frac{a_{ij}}{\sqrt{a_{ii} a_{jj}}} \right]
が半正定値であり、その主対角要素はすべて +1 であり、さらにすべての要素の絶対値が 1 以下であることを示せ。このような行列を相関行列（correlation matrix）と呼ぶ。
問題 7.1.P4
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が相関行列であるとする。このとき、すべての \( i, j = 1, \dots, n \) に対して
|a_{ij}| \le 1
が成り立つことを示せ。等号が成立することはあり得るか。また、\( A \) が正定値である場合、等号が成立することはあり得るか。
問題 7.1.P5
\( A \in M_n \) がエルミート行列であるとする。もし \(|\operatorname{tr} A| \lt \|A\|_2\)（ここで \(\|A\|_2\) はフロベニウスノルム）であるならば、\( A \) が不定値（indefinite）であることを示せ。
問題 7.1.P6
\( A \in M_n \)、\( B \in M_m \) がエルミート行列であるとする。このとき、直和 \( A \oplus B \) が半正定値であることと、\( A \) および \( B \) の両方が半正定値であることが同値であることを示せ。さらに、正定値の場合にはどのような関係が成り立つか述べよ。
問題 7.1.P7
関数 \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) が、任意の点集合 \(\{t_1, \dots, t_n\} \subset \mathbb{R}\) および \(n = 1, 2, \dots\) に対して行列 \([f(t_i - t_j)] \in M_n\) が半正定値であるとき、\( f \) は正定値関数であるという。
(1) \( f \) が正定値関数であるならば、すべての \( t \in \mathbb{R} \) に対して \( f(-t) = \overline{f(t)} \) が成り立つことを示せ。
(2) (7.1.5) 式を用いて次を示せ。
問題 7.1.P8
\( f_1, \dots, f_n \) が正定値関数であり、\( a_1, \dots, a_n \) が非負の実数であるとする。このとき、
f = a_1 f_1 + \cdots + a_n f_n
が正定値関数であることを示せ。
問題 7.1.P9
各 \( s \in \mathbb{R} \) に対して \( f(t) = e^{ist} \) が正定値関数であることを示せ。さらに、前問の結果を用いて、任意の \( s_1, \dots, s_n \in \mathbb{R} \) および非負の実数 \( a_1, \dots, a_n \) に対して、
f(t) = a_1 e^{i s_1 t} + \cdots + a_n e^{i s_n t}
が正定値関数であることを示せ。
問題 7.1.P10
\( \cos t \) が正定値関数であることを証明せよ。
問題 7.1.P11
\( \sin t \) は正定値関数であるか？
問題 7.1.P12
\( g \) が非負かつ可積分な関数であるとする。このとき、
f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{its} g(s) \, ds
が正定値関数であることを示せ。次の関数が正定値である理由を説明せよ。
- (a) \( f(t) = \dfrac{\sin(\alpha t)}{\alpha t} = \dfrac{1}{2\alpha} \int_{-\alpha}^{\alpha} e^{its} ds, \ \alpha \gt 0 \)
- (b) \( f(t) = e^{-t^2} = \dfrac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{its} e^{-s^2/2} ds \)
- (c) \( f(t) = e^{-|t|} = \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{e^{its}}{1 + s^2} ds \)
- (d) \( f(t) = \dfrac{1 + i t}{1 + t^2} = \dfrac{1}{1 - i t} = \int_0^{\infty} e^{its} e^{-s} ds \)
(b) および (c) の関数が正定値であることを示す別の方法は、(7.2.P12) および (7.2.P14) に示されている。
問題 7.1.P13
- (a) \( f \) が正定値関数であるとき、複素共役関数 \( \overline{f} \) および実部 \( \tfrac{1}{2}(f + \overline{f}) = \mathrm{Re}\,f \) も正定値関数であることを示せ。
- (b) 前問を用いて \( g(t) = \dfrac{1}{1 + t^2} \) が正定値関数であることを示せ。
- (c) \( h(t) = \dfrac{i t}{1 + t^2} \) は正定値関数であるか？
問題 7.1.P14
\( A \in M_n \) が半正定値行列であり、次の拡張行列（ボーダー行列）
B =
\begin{bmatrix}
A & y \\
y^* & \alpha
\end{bmatrix}
が半正定値であるとする。
このとき、\( y \in \mathrm{range}(A) \) であることを説明せよ。
問題 7.1.P15
\( f \) が正定値関数であり、ある正の実数 \( \tau \) に対して \( f(\tau) = f(0) \) が成り立つとする。
このとき、\( f \) が周期 \( \tau \) をもつ、すなわちすべての実数 \( t \) に対して \( f(t) = f(t - \tau) \) であることを示せ。
問題 7.1.P16
\( \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{C} \) が与えられ、すべての \( j = 1, \dots, n \) に対して \(\mathrm{Re}\,\lambda_j \gt 0\) であるとする。このとき、
A = \bigl[(\lambda_i + \overline{\lambda_j})^{-1}\bigr]_{i,j=1}^n
が半正定値行列であること、さらに \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) がすべて異なるとき、\( A \) は正定値であることを示せ。
この結果から、次のハンケル行列
A = [(i + j)^{-1}]_{i,j=1}^n, \quad
B = [(i + j - 1)^{-1}]_{i,j=1}^n
がともに正定値であることを結論せよ。
問題 7.1.P17
\( J_n \) を \( n \times n \) のすべての要素が 1 の行列とする（式 (0.2.8) を参照）。次を示せ。
x^* J_n x = |x_1 + \cdots + x_n|^2
したがって、すべての \( n = 1, 2, \dots \) に対して \( J_n \) は半正定値であることがわかる。
問題 7.1.P18
(a) \( 0 \lt \alpha_1 \lt \cdots \lt \alpha_n \) とし、
A = [\min\{\alpha_i, \alpha_j\}]_{i,j=1}^n
とおく。このとき次が成り立つことを示せ。
A = \alpha_1 J_n
+ (\alpha_2 - \alpha_1)(0_1 \oplus J_{n-1})
+ (\alpha_3 - \alpha_2)(0_2 \oplus J_{n-2})
+ \cdots
+ (\alpha_n - \alpha_{n-1})(0_{n-1} \oplus J_1)
この表現を用いて、\( A \) が正定値であることを証明せよ。
(b) \( \beta_1, \dots, \beta_n \) を任意の正の実数とし、順序づけや重複は必要ない。このとき、最小値行列 \([\min\{\beta_i, \beta_j\}]\) が半正定値であり、\( \beta_i \ne \beta_j \)（\( i \ne j \)）のときは正定値であることを説明せよ。
(c) 逆数の最大値行列 \([\max\{\beta_i, \beta_j\}^{-1}]\) が半正定値であり、\( \beta_i \ne \beta_j \)（\( i \ne j \)）のとき正定値であることを示せ。
問題 7.1.P19
前問の結果と極限の議論を用いて、カーネル
K(s, t) = \min\{s, t\}
が任意の \( N \gt 0 \) に対して区間 \([0, N]\) 上で半正定値であることを示せ。すなわち、すべての連続複素値関数 \( f \) に対して
\int_0^N \int_0^N \min\{s, t\} \, \overline{f(s)} f(t) \, ds dt \ge 0
が成り立つことを示せ。
問題 7.1.P20
すべての連続複素値関数 \( f \) に対して次が成り立つことを示せ。
\int_0^N \int_0^N \min\{s, t\} \, \overline{f(s)} f(t) \, ds dt
= \int_0^N \left| \int_t^N f(s) \, ds \right|^2 dt
これを用いて前問の主張の別の証明を与えよ。この証明がなぜ \( K(s, t) = \min\{s, t\} \) が正定値であることを示すのか説明せよ。
問題 7.1.P21
\( A \in M_n \) が半正定値 Hermitian 部分をもつとする。(a) 任意の正則行列 \( S \in M_n \) に対して \( SAS^* \) も同様の性質をもつことを説明せよ(b) \( A \) の ∗合同標準形におけるすべてのブロックも半正定値 Hermitian 部分をもつことを説明せよ。
-i \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & i\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & -i\\ -i & 1\end{bmatrix}
のみが該当することを示せ。
A = S \, \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}) \, S^*, \quad \theta_j \in (-\pi/2, \pi/2)
が成り立つ場合であることを説明せよ。
(I_p + i \Delta_p) \oplus (0_q + i \Gamma_q) \oplus (E_{2r} + i F_{2r})
ここで、\( I_p \) は単位行列、\( \Delta_p \) は実対角行列、\( 0_q \) は零行列、\(\Gamma_q = 0_{q1} \oplus I_{q2} \oplus (-I_{q3})\) は慣性行列、\( E_{2r} = \begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix} \oplus \cdots \) 、\( F_{2r} = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix} \oplus \cdots \) である。このブロック対角行列は、\(\Gamma_q\) の対角要素の順序を除いて一意である。
問題 7.1.P22
\( A \in M_n \) が半正定値 Hermitian 部分 \( H(A) \) をもつとする。もし \( H(A^2) \) が半正定値ならば、\( \mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,H(A) \) となり、式 (7.1.12) から \( A \) は行列の行・列包含性を満たすことを示せ。
A = \Delta + i K, \quad \Delta = L \oplus 0_{n-r}, \ L \in M_r \text{ 正の対角}, \
K = \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} \\ K_{12}^* & K_{22} \end{bmatrix} \text{ Hermitian}
と仮定できる。
問題 7.1.P23
行列
A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}
を考える。Hermitian 部分 \( H(A) \) が正定値であることを示せ。したがって、式 (7.1.13) から、\( H(A^2) \) が半正定値でなくとも、\( A \) は行・列包含性を満たすことが保証される。
問題 7.1.P24
行列
A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{12}^* & A_{22} \end{bmatrix} \in M_n
が半正定値であるとする。式 (7.1.10) を用いて次を示せ。
\mathrm{rank}\,A \le \mathrm{rank}\,A_{11} + \mathrm{rank}\,A_{22}
問題 7.1.P25
\( A \in M_n \) が半正定値であり、\( n = km \) とする。行列 \( A \) を k×k のブロック行列
A = [A_{ij}]_{i,j=1}^{k}
として、各ブロックは \(m×m\)であるとする。
圧縮行列
T = [\mathrm{tr}\,A_{ij}]_{i,j=1}^{k} \in M_k
が半正定値であることを示せ。
詳細は以下の通り：
(a) \( \{e_1, \dots, e_m\} \) を \( \mathbb{C}^m \) の標準基底とし、\( e = e_1 + \cdots + e_m \) とする。任意の \( p \in \{1,\dots,m\} \) に対して、ベクトル \( \mathrm{vec}(e_p e^T) \in \mathbb{C}^{m^2} \) を記述せよ。
(b) 各 \( p \in \{1,\dots,m\} \) に対して、行列 \( X_p \in M_{m^2,m} \) を次のように構成せよ：p 列目は \( \mathrm{vec}(e_p e^T) \)、他の列は零ベクトル。なぜ
T = \sum_{p=1}^m X_p^* A X_p
が成り立つのか説明せよ。
(c) T が半正定値である理由を説明せよ。式 (7.1.8) および (7.1.3) を用いること。物理学文献では、この圧縮行列 T は A の部分トレースとして知られる。
問題 7.1.P26
\( A \in M_n \) の Hermitian 部分 \( H(A) \) が半正定値であり、かつ \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,H(A)\) であるとする。
このとき、下三角行列 \( L, L' \in M_n \) および上三角行列 \( U, U' \in M_n \) が存在して、L および U' が正則かつ
A = L U = L' U'
となることを説明せよ。
問題 7.1.P27
\( A, B \in M_n \) が半正定値であり、部分集合 \( \alpha \subset \{1,\dots,n\} \) を考える。
(a) なぜ各 k = 1,2,... に対して \(\mathrm{rank}\,A^k = \mathrm{rank}\,A\) であるかを説明せよ。
(b) 式 (7.1.10) を用いて、\(\mathrm{rank}(AB)[\alpha] \le \min\{\mathrm{rank}A[\alpha], \mathrm{rank}B[\alpha]\}\) および \(\mathrm{rank}A^2[\alpha] = \mathrm{rank}A[\alpha]\) を示せ。
(c) これを用いて \(\mathrm{rank}A[\alpha] = \mathrm{rank}A^2[\alpha] = \mathrm{rank}A^4[\alpha] = \dots = \mathrm{rank}A^{2k}[\alpha] = \dots\) および任意の k ≥ 2 に対して \(\mathrm{rank}A[\alpha] = \mathrm{rank}A^k[\alpha]\) が成り立つことを示せ。
問題 7.1.P28
これは (4.5.P21) の続きである。
\( A \in M_n \) を半正定値とし、次のように分割する：
A = \begin{bmatrix} B & C \\ C^* & D \end{bmatrix}
もし \(B\) が特異なら、通常のシュア補行列は作れないが、列包含性により一般化シュア補行列を作ることができる。
(a) \( C = BX \) とすると、次が成り立つ：
\begin{bmatrix} I & 0 \\ -X^* & I \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} B & C \\ C^* & D \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} I & -X \\ 0 & I \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & D - X^* B X \end{bmatrix}
(b) 列包含性により存在が保証される \(X\) は一意である必要はない。しかし、もし \(C = BY\) ならば、\(X^*BX = Y^*BY\) となるので、
\tilde{S} = D - X^* B X
は \(X\) の選択に依存せず定義できる。
(c) \(B\) が正則なら \(\tilde{S} = S = D - C^* B^{-1} C\) となり、通常のシュア補行列に一致する。従って \(\tilde{S}\) を \(B\) の一般化シュア補行列と呼ぶことは妥当である。
(d) \(\tilde{S} = D - X^* B X\) が半正定値であり、かつ \(\mathrm{rank}\,A = \mathrm{rank}\,B + \mathrm{rank}\,\tilde{S}\) である理由を説明せよ。
(e) なぜ (d) の二つの主張を Haynsworth の定理の式 (4.5.28) の類似として考えることができるかを説明せよ。
問題 7.1.P29
\( A = H_1 + i K_1, B = H_2 + i K_2 \in M_n \) とし、\(H_1, H_2, K_1, K_2\) は Hermitian、かつ \(H_1, H_2\) は正定値である。∗合同標準形 (7.1.15) を用いて次の同値性を示せ：
- (a) \(A\) と \(B\) は ∗合同である。
- (b) \(A^{-*}A\) と \(B^{-*}B\) は相似である。
- (c) \(A^{-*}A\) と \(B^{-*}B\) は同じ固有値をもつ。
- (d) \(H_1^{-1} K_1\) と \(H_2^{-1} K_2\) は相似である。
- (e) \(H_1^{-1} K_1\) と \(H_2^{-1} K_2\) は同じ固有値をもつ。
問題 7.1.P30
\( A \in M_n \) の Hermitian 部分が正定値であるとする。
このとき \(A^{-*}A\) がユニタリ行列に相似であること、および \(I + A^{-*}A\) が正則であることを示せ。
行列解析の総本山
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