7.0.5
次のような2点境界値問題を考える。
- y''(x) + \sigma(x) y(x) = f(x), \quad 0 \le x \le 1
y(0) = \alpha, \quad y(1) = \beta
ここで、\(\alpha\) と \(\beta\) は与えられた実定数であり、\( f(x) \) と \( \sigma(x) \) は与えられた実数値関数である。 この問題を離散化し、\( y(kh) \equiv y_k \)（\( k = 0, 1, \ldots, n+1 \)）の値のみを求めることにする。 導関数の近似として、次の分割差分近似を用いる。
y''(kh) \approx \frac{y((k+1)h) - 2y(kh) + y((k-1)h)}{h^2}
= \frac{y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1}}{h^2}
これにより、次の線形方程式系を得る。
- \frac{y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1}}{h^2} + \sigma_k y_k = f_k, \quad k = 1, 2, \ldots, n
y_0 = \alpha, \quad y_{n+1} = \beta
ここで \( h = 1/(n + 1) \)、\( y_k = y(kh) \)、\( \sigma_k = \sigma(kh) \)、および \( f_k = f(kh) \) である。 境界条件を \( k = 1 \) および \( k = n \) の方程式に組み込むと、次の線形系が得られる。
(2 + h^2 \sigma_1) y_1 - y_2 = h^2 f_1 + \alpha
- y_{k-1} + (2 + h^2 \sigma_k) y_k - y_{k+1} = h^2 f_k, \quad k = 2, 3, \ldots, n-1
- y_{n-1} + (2 + h^2 \sigma_n) y_n = h^2 f_n + \beta
この系は \( Ay = w \) の形で表される。ここで、 \( y = [y_k] \in \mathbb{R}^n \)、 \( w = [h^2 f_1 + \alpha,\, h^2 f_2,\, \ldots,\, h^2 f_{n-1},\, h^2 f_n + \beta]^T \in \mathbb{R}^n \)、 および \( A \in M_n \) は三重対角行列であり、次のように表される。
A =
\begin{bmatrix}
2 + h^2 \sigma_1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
-1 & 2 + h^2 \sigma_2 & -1 & \ddots & \vdots \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & -1 & 2 + h^2 \sigma_{n-1} & -1 \\
0 & \cdots & 0 & -1 & 2 + h^2 \sigma_n
\end{bmatrix}
行列 \( A \) は、\(\sigma(x)\) の値に関係なく実対称かつ三重対角である。 しかし、任意の右辺 \( w \) に対して \( Ay = w \) が解をもつためには、\( A \) が非特異であるように \(\sigma(x)\) に条件を課す必要がある。
\( A \) に対応する実二次形式は次のように表される。
x^T A x =
\left(
x_1^2 + \sum_{i=1}^{n-1} (x_i - x_{i+1})^2 + x_n^2
\right)
+ h^2 \sum_{i=1}^{n} \sigma_i x_i^2
最初の括弧内の3項は非負であり、すべての \( x_i \) が等しく（しかも0である）場合にのみ0となる。 もし関数 \(\sigma\) が非負であれば、後半の和も非負であるから、
x^T A x \ge
\left(
x_1^2 + \sum_{i=1}^{n-1} (x_i - x_{i+1})^2 + x_n^2
\right)
\ge 0
もし \( A \) が特異であれば、非零ベクトル \( \hat{x} \in \mathbb{R}^n \) が存在して \( A \hat{x} = 0 \) を満たす。 このとき \( \hat{x}^T A \hat{x} = 0 \) であるが、(7.0.5.2) の中央の項が消えることから \(\hat{x} = 0\) が導かれる。 したがって、もし \(\sigma\) が非負であれば、行列 \( A \) は非特異であり、離散化された境界値問題は任意の境界条件 \(\alpha\)、\(\beta\) に対して解をもつ。
これは常微分方程式や偏微分方程式の数値解を研究する際に典型的に現れる状況である。 計算の安定性のためには、差分化によって得られる線形方程式系 \( Ay = w \) において、行列 \( A \) が正定値となるよう設計することが望ましい。 特に、微分方程式が楕円型である場合、このような構成は通常可能である。
これらの例で示されるような「正の性質」をもつ行列は、本章で扱う対象である。 この種の行列は多くの応用分野に現れる。たとえば、調和解析、複素解析、機械系の振動理論、そして特異値分解や線形最小二乗問題の解法など、行列理論の他の分野にも広く関係している。
行列解析の総本山
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