[行列解析6.4.P6]

6.4.問題6

次の行列を考える。

A = \begin{bmatrix} -2 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

(6.4.12)

\bigcup_{i_1, \ldots, i_m \in I_m} \left\{ z \in \mathbb{C} : \prod_{k=1}^m |z - a_{i_k i_k}| \le \prod_{k=1}^m R^{\prime}_{i_k} \right\}

(a) \( \lambda = 0 \) が \( A \) の三重固有値であることを示せ。
(b) \( m = 3 \) の場合において、式 (6.4.12) で定義される集合が次のようになることを示せ。

\{ z \in \mathbb{C} : |z + 2|\,|z - 1|^2 \le 74 \}

この集合には \( \lambda = 0 \) が含まれないことを確認せよ。

(6.4.12)

\bigcup_{i_1, \ldots, i_m \in I_m} \left\{ z \in \mathbb{C} : \prod_{k=1}^m |z - a_{i_k i_k}| \le \prod_{k=1}^m R^{\prime}_{i_k} \right\}

(c) 転置行列 \( A^T \) に対して同じ \( m = 3 \) の集合 (6.4.12) を求め、それには \( \lambda = 0 \) が含まれることを示せ。
(d) \( A \) に対する集合 (6.4.19) を求め、それが \( \lambda \) を含むことを示せ。

(6.4.19)

\bigcup_{\gamma \in C(A)} \left\{ z \in \mathbb{C} : \prod_{P_i \in \gamma} |z - a_{ii}| \le \prod_{P_i \in \gamma} R_i^{\prime} \right\}