[行列解析6.4.16]弱既約性と前順序関係に関する補題

6.4.16.弱既約性と前順序関係に関する補題
行列解析の総本山

6.4.16.弱既約性と前順序関係に関する補題

補題 6.4.16：

\( A \in M_n \) が弱既約（weakly irreducible）であることと、次の条件が成り立つことは同値である。

B = [b_{ij}] = (I + |A|)^{n-1}

（同値な形として \( B = (I + M(A))^{n-1} \) と書くこともできる。）このとき、各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して、少なくとも1つの \( j \ne i \) が存在して \( b_{ij} \ne 0 \) かつ \( b_{ji} \ne 0 \) となる。すなわち、各 \( i \) に対して、対角成分以外に \( b_{ij} \) が非零であり、同時に \( b_{ji} \) も非零であるようなペアが少なくとも1組存在する。

演習：

補題 (6.4.16) を証明せよ。ヒント：式 (6.2.19) の考え方を利用すること。

演習：

\( A \in M_n \) とする。\( A \) が弱既約であることと、グラフ \( \Gamma((I + |A|)^{n-1}) \) が各ノードについて長さ2のサイクルを含むという性質をもつことが同値であることを示せ。既約行列に対応する性質は何か。どちらの性質がより弱いかを答えよ。なお、サイクルとは単純閉路であり、開始ノード（終点と同一）以外のノードは重複して現れない。

演習：

\( A \in M_n \) が弱既約であるとき、すべての \( R_i > 0 \) および \( C_i > 0 \) であることを説明せよ。

集合 \( S \) 上の 前順序（preorder） とは、\( S \) の任意の2つの要素の間に定義される関係 \( R \) であって、任意の \( s, t \in S \) に対して、\( sRt \) または \( tRs \)、あるいはその両方が成り立つものである。また、前順序は反射的（すなわちすべての \( s \in S \) に対して \( sRs \)）であり、推移的（もし \( sRt \) かつ \( tRu \) ならば \( sRu \)）でなければならない。ただし、対称性（\( sRt \) ⇔ \( tRs \)）を持つ必要はなく、\( sRt \) および \( tRs \) が成り立っても \( s = t \) であるとは限らない。

部分集合 \( S_0 \subset S \) の点 \( z \) が 極大要素（maximal element） であるとは、すべての \( s \in S_0 \) に対して \( sRz \) が成り立つことをいう。