6.4.問題集
この節では、ブラウアー（Brauer）の条件、レヴィ＝デスプランク（Levy–Desplanques）の条件、行列の非可約性およびその弱形式などに関する演習問題を扱う。
問題 6.4.P1
\( n \ge 2 \) であり、行列 \( A = [a_{ij}] \) が非特異性に関するブラウアーの条件 (6.4.11b) を満たすとする。このとき、ほとんどの \( i = 1, \ldots, n \) について次が成り立つことを示せ。
|a_{ii}| \gt R_i
ただし、上の不等式が成り立たない \( i \) の値は高々1つである。したがって、ブラウアーの条件は (6.1.10a) におけるレヴィ＝デスプランク条件（厳密対角優位条件）よりわずかに弱いだけである。この結果は (6.1.11) とどのように関連しているかを説明せよ。
問題 6.4.P2
次の行列を考える。
A = \begin{bmatrix}
2 & 3 \\
1 & 3
\end{bmatrix}
条件 (6.4.11) の両方が \( A \) の非特異性を保証することを示せ。ただし、(6.1.10a) および (6.1.11) のいずれも非特異性を保証しない。さらに、(6.1.11) の列形式の場合についても検討せよ。
問題 6.4.P3
\( n \ge 2 \) のとき、任意の非可約行列 \( A \in M_n \) は弱非可約（weakly irreducible）であることを示せ。また、弱非可約ではあるが非可約ではない行列の例を挙げよ。
問題 6.4.P4
(6.1.10) および (6.2.6) の議論を利用して、(6.4.29) の証明の詳細を補え。
問題 6.4.P5
行列 \( A \in M_n \) が弱非可約であることと、\( A \) が置換相似によって、対角ブロックの1つが1×1のブロックであるようなブロック三角行列に変形できないことが同値であることを示せ。
問題 6.4.P6
次の行列を考える。
A =
\begin{bmatrix}
-2 & 4 & -3 \\
0 & 1 & -1 \\
4 & 1 & 0
\end{bmatrix}
(a) \( \lambda = 0 \) が \( A \) の三重固有値であることを示せ。
(b) \( m = 3 \) の場合において、式 (6.4.12) で定義される集合が次のようになることを示せ。
\{ z \in \mathbb{C} : |z + 2|\,|z - 1|^2 \le 74 \}
この集合には \( \lambda = 0 \) が含まれないことを確認せよ。
(c) 転置行列 \( A^T \) に対して同じ \( m = 3 \) の集合 (6.4.12) を求め、それには \( \lambda = 0 \) が含まれることを示せ。
(d) \( A \) に対する集合 (6.4.19) を求め、それが \( \lambda \) を含むことを示せ。
問題 6.4.P7
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) で、すべての \( i = 1, \ldots, n \) について \( a_{ii} = 0 \) であるとする。\( A \) の各行の絶対値の和（対角要素を除く）を削除した値を降順に並べたものを \( R_{[1]} \ge \cdots \ge R_{[n]} \) とする。このとき、次の不等式を示せ。
\rho(A) \le (R_{[1]} R_{[2]})^{1/2}
問題 6.4.P8
ブラウアー集合 (6.4.8) は (6.2.8) に示されたような境界固有値性を一般には持たないが、その部分集合の中には同様の性質をもつものが存在する。すなわち、\( A = [a_{ij}] \in M_n \) が非可約であり、\( \lambda \) が次の集合の境界点であるとする。
\bigcup_{\gamma \in C(A)}
\bigcup_{P_i, P_j \in \gamma,\, P_i \ne P_j}
\{ z \in \mathbb{C} : |z - a_{ii}|\,|z - a_{jj}| \le R_i R_j \}
このとき、すべての \( \gamma \in C(A) \) および互いに異なるノード \( P_i, P_j \in \gamma \) に対して、
|z - a_{ii}|\,|z - a_{jj}| = R_i R_j
が成り立つことが知られている。
(a) この定理が、式 (6.4.11a) の行列において \( \lambda = 0 \) が固有値である可能性を排除しない理由を説明せよ。
(b) 次の \( A \) の非特異性の判定条件を導け。
|a_{ii}|\,|a_{jj}| \ge R_i R_j
ただし、すべての経路 \( \gamma \in C(A) \) における異なるノード対 \( P_i, P_j \in \gamma \) について成り立ち、さらに少なくとも1つの経路 \( \gamma_0 \in C(A) \) に対しては、すべての異なるノード対 \( P_i, P_j \in \gamma_0 \) について
|a_{ii}|\,|a_{jj}| \gt R_i R_j
が成り立つ場合、行列 \( A \) は非特異である。
補足と参考文献：固有値包含集合と関連定理
固有値の包含集合に関する詳細および原論文への多くの参照については、R. Brualdi の論文「Matrices, eigenvalues, and directed graphs」（Linear Multilinear Algebra, 第11巻, 1982年, pp.143–165）を参照するとよい。
定理 6.4.7 は、A. Ostrowski による論文「Über die Determinanten mit überwiegender Hauptdiagonale」（Comment. Math. Helv., 第10巻, 1937年, pp.69–96）に登場する。この結果は、10年後にA. Brauerによって独立に再発見され、「Limits for the characteristic roots of a matrix: II」（Duke Math. J., 第14巻, 1947年, pp.21–26）として発表された。そのため、式 (6.4.7) は「Ostrowski–Brauerの定理」と呼ばれることがある。
定理 (6.4.30) の証明については、L. Yu. Kolotilina の論文「Generalizations of the Ostrowski–Brauer theorem」（Linear Algebra Appl., 第364巻, 2003年, pp.65–80）を参照されたい。
また、定理 (6.4.P6) は、X. Zhang および D. Gu による論文「A note on A. Brauer’s theorem」（Linear Algebra Appl., 第196巻, 1994年, pp.163–174）で証明されている。
さらに、(6.4.31) に対応する特異値（singular value）の包含集合については、L. Li の論文「The undirected graph and estimates of matrix singular values」（Linear Algebra Appl., 第285巻, 1998年, pp.181–188）を参照するとよい。
行列解析の総本山
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