[行列解析6.3.P7]

6.3.問題7
- 問題 6.3.P7
行列解析の総本山

6.3.問題7

問題 6.3.P7

次の行列を考える。

A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad A + tE \text{ for } t \gt 0

(a) \(A\) は (6.3.12) の仮定を満たすか？
(b) \(A + tE\) の固有値が \(\pm \sqrt{t}\) であることを示し、固有値 \(\lambda(t) = \sqrt{t}\) が連続ではあるが \(t = 0\) では微分可能でないことを説明せよ。
(c) \(A\) は (6.3.2) の仮定を満たすか？
(d) \(A\) の固有値を \(\lambda\)、\(A + tE\) の固有値を \(\lambda(t)\) とするとき、任意の \(t \gt 0\) に対して \(|\lambda(t) - \lambda| \le c\|tE\|\) を満たす \(c > 0\) が存在しない理由を説明し、式 (6.3.3) による評価と対比せよ。