[行列解析6.3.P2]

6.3.問題2

式 (6.3.14) の上界は残差ベクトル \(r = A\hat{x} - \hat{\lambda}\hat{x}\) のノルムを含む。与えられた \(A \in M_n\) と非零ベクトル \(\hat{x}\) に対して、最適な \(\hat{\lambda}\) の選び方は何か。

(a) ユークリッドノルムの場合、任意の非零ベクトル \(\hat{x}\) に対して、次が成り立つことを示せ。

\|r\|_2 \ge \|A\hat{x} - (\hat{x}^*A\hat{x})\hat{x}\|_2 \quad \text{for all } \hat{\lambda} \in \mathbb{C}

(b) \(A\) が正規行列で、\(y\) が単位ベクトルであるとき、少なくとも1つの固有値が次の円板内に存在することを説明せよ。

\{ z \in \mathbb{C} : |z - y^*Ay| \le (\|Ay\|_2^2 - |y^*Ay|^2)^{1/2} \}

\{ t \in \mathbb{R} : |t - y^*Ay| \le (\|Ay\|_2^2 - (y^*Ay)^2)^{1/2} \}